微分方程、变换与数值方法

判别数项级数 Σ aₙ 的收敛性（aₙ 为 n 的表达式）：按序运行项判别法（aₙ → 0?）、比值判别法 L = |aₙ₊₁/aₙ|、根值判别法 ρ = |aₙ|^(1/n)、p-级数比较估计 p = −ln|a(N)|/ln N，以及积分判别法（Simpson 数值积分 + 逐十进位增长比较）；交错级数自动识别并用 Leibniz 判别法分类条件收敛，收敛时还给出和的估计（部分和 + 几何/p 律尾部）。经典例：Σ1/n² 收敛（p≈2，和≈1.6449）；Σ1/n 发散（调和）；Σ0.5ⁿ 收敛；Σcos(πn)/n 条件收敛（和≈−ln2）。

用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。

用分离变量法求解 dy/dx = g(x)·h(y)：分离变量、两侧逐项积分得 H(y) = G(x) + C，能反解时给出显式解 y = f(x)。支持单项 h(y)（y、y^n、e^(ky)、ky+m）以及可用部分分式分解的二次多项式（如逻辑斯蒂方程的 y(1−y)）；给定初始条件 y(x₀)=y₀ 时算出常数 C，并检测平衡解。示例：dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C)。

求解 a·y'' + b·y' + c·y = f(x)：解特征方程 ar² + br + c = 0，按判别式给出齐次解（两相异实根 / 二重根 / 共轭复根），用待定系数法求特解（含共振：k 为特征根时试探解乘 x^m），支持常数、多项式、A·e^(kx) 与 A·sin(kx)+B·cos(kx) 右端项；给定 y(x₀) 与 y'(x₀) 时由 2×2 线性方程组定出 C1、C2。经典例：y''−3y'+2y=0，y(0)=1，y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x。

查表求常用函数的拉普拉斯变换 F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt：覆盖 14 组标准变换对（1、t、tⁿ、e^(at)、tⁿe^(at)、sin/cos(kt) 及其指数移位、sinh/cosh、t·sin/t·cos、δ(t)），带参数代入、收敛域（如 s > a）、推导要点，并可在指定 s 处数值求值（自动校验收敛）。示例：L{e^t} = 1/(s−1)，s>1，F(2) = 1。

对有理函数 F(x) = N(x)/D(x) 做部分分式分解（分母次数 ≤ 6，分子次数 ≤ 8，假分式自动先做多项式长除）：Durand-Kerner 求分母根并按重数/共轭对分组，解多项式系数线性方程组得到 A/(x−r)^j 与 (Bx+C)/((x−α)²+β²) 形式的分解，并在代数探针点做数值残差验证。经典例：(3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2)；(x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1)；1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)²。

对有理函数 F(s) = N(s)/D(s)（真分式，分母次数 ≤ 6）求拉普拉斯逆变换：先对分母求根并按重数/共轭对分组，再解多项式系数线性方程组得到部分分式分解，最后逐项查表反变换（A/(s−r)→Ae^(rt)、A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!、(Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]）。经典例：1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t)；(3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2.5sin(2t)。

数值计算两个信号的卷积 (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ：支持因果模式（两信号在 t<0 时取 0，积分区间 [max(τmin,0), min(τmax,t)]，适配拉普拉斯域乘积）与直接窗口模式（在整个 [τmin, τmax] 上积分，适配高斯等双边信号），采用复合 Simpson 公式（默认 2000 区间）。经典例：e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t)，t=1 时为 0.2325；两个高斯卷积仍为高斯：√(π/2)·e^(−t²/2)。

查表求离散序列的单边 Z 变换 X(z) = Σₙ₌₀^∞ x[n]·z^(−n)：覆盖 11 组标准变换对（δ[n]、u[n]、aⁿ、n、n²、n·aⁿ、sin/cos(ω₀n)、aⁿ·sin/aⁿ·cos、(−1)ⁿ），带参数代入、收敛域 |z| > R、推导要点，并可在指定 z 处数值求值（自动校验收敛）。示例：Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5)，|z| > 0.5，X(2) = 4/3。

用显式（前向）Euler 法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：迭代 y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n)，逐步给出数值表与最终估计 y(目标)。可选填精确解 y(x) 以显示每步绝对误差，直观呈现一阶方法的 O(h) 全局误差。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 1.1¹⁰ = 2.593742，与 e = 2.718282 相比误差 0.124539。

用经典四阶 Runge-Kutta（RK4）法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：每步计算 k1–k4 四个斜率并加权更新 y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4)，全局误差 O(h⁴)——步长减半误差约缩小 16 倍。输出逐步数值表、前几步的 k1–k4 明细与最终估计；可选填精确解 y(x) 显示误差列。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 2.718282，与 e 几乎一致。

在指定点用三种有限差分近似 f′(x₀)：前向 (f(x₀+h)−f(x₀))/h、后向 (f(x₀−h) 差分) 与中心 (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h)，另给中心二阶差分 f″。可选填精确导数以显示各方法绝对误差，直观对比 O(h) 与 O(h²) 截断误差。示例：f=x²、x₀=1、h=0.1 时前向 2.1、后向 1.9、中心恰好 2.0。

用复合梯形法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx：T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b))，逐节点给出数值表、积分估计与可选的精确值/绝对误差对比，误差为 O(h²)（对线性函数精确）。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.34375，与精确值 1/3 相差 0.010417。

用复合 Simpson 1/3 法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx（n 为偶数）：S = h/3·(f(a) + 4Σ奇节点 + 2Σ偶内节点 + f(b))，误差 O(h⁴)，对三次及以下多项式精确。逐节点数值表 + 积分估计 + 可选精确值/误差对比。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.333333（精确！）；∫₀¹e^(−x²)dx（无初等原函数）取 n=10 得 0.746825。

用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。

判别数项级数 Σ aₙ 的收敛性（aₙ 为 n 的表达式）：按序运行项判别法（aₙ → 0?）、比值判别法 L = |aₙ₊₁/aₙ|、根值判别法 ρ = |aₙ|^(1/n)、p-级数比较估计 p = −ln|a(N)|/ln N，以及积分判别法（Simpson 数值积分 + 逐十进位增长比较）；交错级数自动识别并用 Leibniz 判别法分类条件收敛，收敛时还给出和的估计（部分和 + 几何/p 律尾部）。经典例：Σ1/n² 收敛（p≈2，和≈1.6449）；Σ1/n 发散（调和）；Σ0.5ⁿ 收敛；Σcos(πn)/n 条件收敛（和≈−ln2）。