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在指定点用三种有限差分近似 f′(x₀)：前向 (f(x₀+h)−f(x₀))/h、后向 (f(x₀−h) 差分) 与中心 (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h)，另给中心二阶差分 f″。可选填精确导数以显示各方法绝对误差，直观对比 O(h) 与 O(h²) 截断误差。示例：f=x²、x₀=1、h=0.1 时前向 2.1、后向 1.9、中心恰好 2.0。
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案例
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工具使用指南
数值微分计算器利用有限差分法快速估算函数在指定点的一阶与二阶导数。工具同步输出前向差分、后向差分、中心差分以及中心二阶差分的数值结果，并支持输入精确导数公式进行绝对误差对比，直观展示一阶精度 O(h) 与二阶精度 O(h²) 的截断误差差异。
背景
正在完成数值分析课程中的有限差分实验，需要验证多项式函数在特定点的一阶和二阶差分值。
问题
快速计算 f(x) = x² 在 x₀ = 1 处的差分导数，并观察单侧差分与中心差分的差异。
如何使用
在 f(x) 中填入 x^2，x₀ 设为 1，步长 h 设为 0.1，精确导数填入 2x，小数位数设为 6。
fx = "x^2", x0 = 1, h = 0.1, exactDy = "2x", decimalPlaces = 6结果
前向差分输出 2.100000（误差 0.1），后向差分输出 1.900000（误差 0.1），中心差分输出 2.000000（误差 0.0），中心二阶差分精确输出 2.000000。
背景
在编写仿真模块时需要使用差分法替代解析导数，需预先评估小步长下中心差分的精度表现。
问题
评估 f(x) = sin(x) 在 x₀ = 0.5 处采用步长 h = 0.01 时的近似误差。
如何使用
在 f(x) 中填入 sin(x)，x₀ 设为 0.5，步长 h 设为 0.01，精确导数填入 cos(x)。
fx = "sin(x)", x0 = 0.5, h = 0.01, exactDy = "cos(x)", decimalPlaces = 6结果
前向与后向差分绝对误差约为 0.0024，而中心差分近似值为 0.877568，绝对误差降至约 0.000015。
支持常见的代数运算（如 +、-、*、/、^）以及标准数学函数，例如 sin、cos、exp、ln、sqrt 等。
前向差分与后向差分的截断误差为 O(h)，而中心差分通过对称采样抵消了一阶误差项，截断误差达到 O(h²)，因此在步长 h 较小时精度更高。
不可以。步长过大会增大公式的截断误差，而步长过小（如接近浮点精度极限）则会因浮点数相减产生显著的舍入误差放大。
不会。精确导数仅用于计算各方法的绝对误差，留空时工具仍会正常输出各差分公式的近似结果及二阶差分。
工具采用标准中心二阶差分公式 (f(x₀+h) - 2f(x₀) + f(x₀-h)) / h² 来估算二阶导数 f″(x₀)。