什么是可分离变量微分方程？

指能够改写为 dy/dx = g(x)·h(y) 形式的一阶微分方程，可通过将 x 和 y 分置于等式两侧分别积分来求解。

h(y) 支持哪些常见函数类型？

支持单项式（如 y、y^n、(ky+m)^n）、指数函数 e^(ky) 以及具有实根的二次多项式（如 y(1−y)）。

如果无法反解出 y 会如何显示？

当反解涉及超越混合项时，求解器会保留等式两端的符号积分结果，输出精确的隐式解 H(y) = G(x) + C。

不填写初始条件 (x₀, y₀) 可以求解吗？

可以，未提供初值时求解器将输出带有任意常数 C 的通解。

求解器能检测到平衡解（奇解）吗？

可以，系统在分析 h(y) 时会识别使 h(y) = 0 的常数解（平衡解）。

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一阶微分方程求解器（分离变量法）

用分离变量法求解 dy/dx = g(x)·h(y)：分离变量、两侧逐项积分得 H(y) = G(x) + C，能反解时给出显式解 y = f(x)。支持单项 h(y)（y、y^n、e^(ky)、ky+m）以及可用部分分式分解的二次多项式（如逻辑斯蒂方程的 y(1−y)）；给定初始条件 y(x₀)=y₀ 时算出常数 C，并检测平衡解。示例：dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C)。

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2 个示例

dy/dx = 2x·y，y(0) = 1 → y = e^(x²)

分离变量得 dy/y = 2x dx；积分得 ln|y| = x² + C，故 y = e^(x²+C)。初始条件 y(0) = 1 使 C = 0，特解为 y = e^(x²)。

dy/dx = g(x)·h(y) with g(x) = 2 x, h(y) = y Step 1 — Separate variables: (1/y) dy = 2 x dx Step 2 — Integrate both sides: ln|y| = x^2 + C Step 3 — Solve for y: y = e^(x^2 + C) Initial condition y(0) = 1: C = H(y0) - G(x0) = 0 Particular solution: y = e^(x^2)

逻辑斯蒂型 dy/dx = x·y(1−y)，y(0) = 2 → 隐式解

h(y) = y(1−y) 可分解为 y 与 (1−y)，1/h 经部分分式分解为 1/y − 1/(y−1)。积分得 ln|y| − ln|y−1| = x²/2 + C；H 含两个对数项，y 只能保持隐式。y(0) = 2 时 C = ln 2 ≈ 0.693147。

dy/dx = g(x)·h(y) with g(x) = x, h(y) = y - y^2 Step 1 — Separate variables (partial fractions): (1/y - 1/(y - 1)) dy = x dx Step 2 — Integrate both sides: ln|y| - ln|y - 1| = 0.5 x^2 + C Step 3 — H(y) mixes irreducible terms: y cannot be isolated in elementary form; the implicit relation above is the solution. Initial condition y(0) = 2: C = H(y0) - G(x0) = 0.693147 Implicit particular solution: ln|y| - ln|y - 1| = 0.5 x^2 + 0.693147

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g(x)——x 侧因子text必填x-dependent factor of dy/dx = g(x)·h(y). Terms: constants, x^n, (kx+m)^n, e^(kx), sin(kx+m), cos(kx+m), ln(kx+m), sqrt(kx+m).h(y)——y 侧因子text必填y-dependent factor. Single terms (y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky)) or a degree ≤ 2 polynomial with real roots, or c/D(y).

参数设置调整格式、范围、数值和模式。2

x₀（初始 x）number可选Only used together with y₀ to pin down the constant C.y₀ = y(x₀)number可选Initial value. Leave empty for the general solution; provide with x₀ for the particular solution.

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