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判别数项级数 Σ aₙ 的收敛性（aₙ 为 n 的表达式）：按序运行项判别法（aₙ → 0?）、比值判别法 L = |aₙ₊₁/aₙ|、根值判别法 ρ = |aₙ|^(1/n)、p-级数比较估计 p = −ln|a(N)|/ln N，以及积分判别法（Simpson 数值积分 + 逐十进位增长比较）；交错级数自动识别并用 Leibniz 判别法分类条件收敛，收敛时还给出和的估计（部分和 + 几何/p 律尾部）。经典例：Σ1/n² 收敛（p≈2，和≈1.6449）；Σ1/n 发散（调和）；Σ0.5ⁿ 收敛；Σcos(πn)/n 条件收敛（和≈−ln2）。
执行
填写表单、运行工具，并在同一页面查看结果。
案例
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工具使用指南
级数收敛性判别器用于快速分析数项级数 Σ aₙ 的敛散性。输入通项表达式后，工具会自动执行必要条件判别（通项趋零）、比值判别法、根值判别法、p-级数比较估计以及数值积分判别法；支持自动检测交错级数并应用莱布尼茨判别法，并在级数收敛时给出部分和与余项估计。
背景
正在完成微积分作业中关于 p-级数敛散性的证明题，需要验证结论与和的近似值。
问题
比值判别法与根值判别法对 Σ 1/n² 失效，需要确认 p-级数检验与积分检验的计算过程。
如何使用
在通项 aₙ 输入 `1/n^2`，小数位数设为 4，点击运行判别分析。
{
"aNExpr": "1/n^2",
"decimalPlaces": 4
}结果
工具显示项判别法通过，比值与根值极限接近 1 无结论，p-级数估计 p ≈ 2 > 1 判定收敛，积分判别法确认收敛，给出级数和估计约为 1.6449。
背景
需要为学生准备交错级数判别例题，演示绝对收敛与条件收敛的区别。
问题
验证交错项 cos(πn) 的符号特性以及利用莱布尼茨判别法确认其条件收敛性。
如何使用
在通项 aₙ 输入 `cos(pi*n)/n`，小数位数设为 4，查看判别输出与和的估计值。
{
"aNExpr": "cos(pi*n)/n",
"decimalPlaces": 4
}结果
工具检测出交错符号且绝对值单调趋向 0，符合莱布尼茨判别法，同时识别绝对值级数 p ≈ 1 发散，结论判定为条件收敛，和估计约为 -0.6931。
支持基本算术运算符（+、-、*、/、^）、括号，以及 exp、sin、cos、sqrt、ln 等常用初等函数。
比值判别法失效时，工具会自动执行 p-级数幂次比较估计以及辛普森数值积分判别法来确定敛散性。
工具会自动检测项的正负交错性，对单调递减趋于 0 的项应用莱布尼茨判别法，并判定其是否为条件收敛。
工具计算前十万项的部分和，并结合几何级数或 p-级数的解析尾部修正项，以提高和的近似精度。
是的，级数通项公式必须使用变量 n（从 n = 1 开始）。