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用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。
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案例
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工具使用指南
Newton-Raphson 迭代求根计算器用于快速求解非线性方程与超越方程 f(x) = 0 的数值解。工具支持自定义解析导数或自动采用中心差分数值导数，完整展示每步迭代值 x_k、函数残差 f(x_k)、收敛判据及迭代步数，并能明确提示导数为零或步长发散等异常情况。
背景
正在完成数值分析课程作业，需要演示牛顿切线法逼近二次方程根的过程并记录每步数值。
问题
求解 x² - 2 = 0 从 x₀ = 1 开始的收敛步骤与最终高精度根。
如何使用
在 f(x) 中输入 `x^2 - 2`，初值 x₀ 设为 1，容差设为 1e-10，小数位数设为 10。
fxExpr = "x^2 - 2", dfxExpr = "", x0 = 1, tolerance = 1e-10, maxIter = 50, decimalPlaces = 10结果
仅需 4 步迭代即收敛到 √2 ≈ 1.4142135624，并生成包含每步 x_k 与 f(x_k) 的完整数据表。
背景
需要在数值模拟中确定余弦函数的不动点 cos(x) = x 的精确解作为初始参数。
问题
求解超越方程 cos(x) - x = 0 的数值解，并使用解析导数加速收敛。
如何使用
在 f(x) 输入 `cos(x) - x`，在 f'(x) 输入 `-sin(x) - 1`，初值 x₀ 设为 1，容差设为 1e-10。
fxExpr = "cos(x) - x", dfxExpr = "-sin(x) - 1", x0 = 1, tolerance = 1e-10, maxIter = 50, decimalPlaces = 10结果
以二次收敛速度经 4 步精确收敛至 Dottie 数 0.7390851332，残差降至 0。
留空时系统会自动使用步长 h ≈ 1e-7 的中心差分法估算数值导数，通常可达到接近解析导数的收敛精度。
当迭代点的导数接近或等于 0、初值选取过远导致步长振荡，或函数存在极值点阻碍收敛时，超出最大迭代上限会报告发散。
可调小“容差”参数（如 1e-12）以提高停机精度，同时增大“小数位数”参数（最高支持 12 位）显示更多有效位。
支持基本算术运算符（+、-、*、/、^）、括号以及常用函数，如 sin、cos、tan、exp、ln、sqrt 等。
Newton-Raphson 法依赖局部初值，初值越接近真实解收敛越快；若方程存在多个根，选取不同初值可能收敛到不同根。