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查表求常用函数的拉普拉斯变换 F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt：覆盖 14 组标准变换对（1、t、tⁿ、e^(at)、tⁿe^(at)、sin/cos(kt) 及其指数移位、sinh/cosh、t·sin/t·cos、δ(t)），带参数代入、收敛域（如 s > a）、推导要点，并可在指定 s 处数值求值（自动校验收敛）。示例：L{e^t} = 1/(s−1)，s>1，F(2) = 1。
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案例
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工具使用指南
拉普拉斯变换计算器支持 14 组经典变换对的在线查表与公式推导，可根据输入的参数自动生成频域表达式 F(s)、收敛域（ROC）与数学推导说明，并支持在指定复频域点 s₀ 处进行数值计算与收敛性校验。
背景
正在完成线性系统分析作业，需要求解 f(t) = e^t 的拉普拉斯变换并计算在 s = 2 处的数值。
问题
快速获取解析表达式、确认收敛域并验证数值代入结果。
如何使用
选择 f(t) 形式为 `e^(at)`，设置 a = 1，s₀ = 2，小数位数设置为 4。
{
"form": "exp",
"a": 1,
"s0": 2,
"decimalPlaces": 4
}结果
输出 F(s) = 1/(s - 1)，收敛域为 s > 1，推导说明应用了第一移位定理，并在 s = 2 处求得 F(2) = 1。
背景
在分析交流滤波电路响应时，需要计算角频率为 2 rad/s 的正弦信号拉氏变换在 s = 3 时的取值。
问题
获取 sin(2t) 的标准频域形式，并直接得到 s = 3 处的精确浮点值。
如何使用
选择 f(t) 形式为 `sin(kt)`，设置 k = 2，s₀ = 3，保留 4 位小数。
{
"form": "sin",
"k": 2,
"s0": 3,
"decimalPlaces": 4
}结果
输出 F(s) = 2/(s² + 4)，收敛域为全体 s，并在 s = 3 处求得数值结果 F(3) = 0.1538。
支持常数/单位阶跃、t、tⁿ、e^(at)、tⁿ·e^(at)、sin(kt)、cos(kt)、e^(at)·sin(kt)、e^(at)·cos(kt)、sinh(kt)、cosh(kt)、t·sin(kt)、t·cos(kt) 以及狄拉克冲激函数 δ(t)。
数值求值需要满足拉普拉斯积分的收敛条件（例如指数函数需满足 s > a），超出收敛域时系统将提示不满足收敛条件或无法在对应点求值。
该查表工具中 tⁿ 和 tⁿ·e^(at) 的参数 n 限制为 1 至 10 的正整数，对应阶乘 n! 计算。
对于正弦、余弦及双曲函数形式，参数 k 代表角频率，必须为非零数值。
输出结果包含代入参数后的时域函数 f(t)、频域表达式 F(s)、收敛域说明、变换推导简述以及可选的 F(s₀) 数值计算结果。