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用经典四阶 Runge-Kutta（RK4）法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：每步计算 k1–k4 四个斜率并加权更新 y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4)，全局误差 O(h⁴)——步长减半误差约缩小 16 倍。输出逐步数值表、前几步的 k1–k4 明细与最终估计；可选填精确解 y(x) 显示误差列。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 2.718282，与 e 几乎一致。
执行
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案例
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工具使用指南
四阶 Runge-Kutta（RK4）数值求解器是一款用于计算一阶常微分方程初值问题 dy/dx = f(x, y) 的在线工具。该工具通过在每个步长内计算 k1 至 k4 四个加权斜率，提供具有 O(h⁴) 全局精度的逐步数值解表格、中间斜率明细以及可选的精确解误差比对。
背景
正在完成数值分析课程作业，需要使用四阶龙格-库塔法手动或编程计算 dy/dx = y 的初值问题并核对精度。
问题
需要快速获取 x 从 0 到 1 之间的 10 步 RK4 详细递推过程及与理论解 e^x 的绝对误差。
如何使用
在微分表达式中输入 y，设置 x0=0、y0=1、目标 x=1、步数=10，精确解输入 e^x，小数位数设为 6。
fxy: "y", x0: 0, y0: 1, xEnd: 1, steps: 10, exactY: "e^x", decimalPlaces: 6结果
生成包含 10 步的数值表，求得 y(1) ≈ 2.718280，误差列显示与 e 的绝对误差仅为 0.000002，并显示第一步 k1 到 k4 的详细斜率。
背景
需要对形式为 dy/dx = -2xy 的非自治衰减模型进行数值估计。
问题
希望在较少步数（h=0.25）下快速估算终点 x=1 处的函数值，并评估粗步长下的拟合效果。
如何使用
在微分表达式中输入 -2x*y，设置 x0=0、y0=1、目标 x=1、步数=4，精确解输入 e^(-x^2)。
fxy: "-2x*y", x0: 0, y0: 1, xEnd: 1, steps: 4, exactY: "e^(-x^2)", decimalPlaces: 6结果
输出 4 步递推结果，最终估计值 y(1) ≈ 0.367934，与理论值 0.367879 的绝对误差约为 0.000055。
RK4 的局部截断误差为 O(h⁵)，全区间全局截断误差为 O(h⁴)。当步长减半时，理论误差约缩小 16 倍。
乘法必须使用星号 *（例如 2*x*y），支持的内置函数包括 sin、cos、exp、ln、sqrt 等。
求解器要求目标 x 必须大于初始值 x₀，计算沿正方向步进。
不是必填项。留空时求解器输出常规数值表；填入后会额外生成一列与理论值的绝对误差对比。
步数 n 支持在 1 到 10000 之间设置，步数越多，单步步长越小，通常计算精度越高。