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查表求离散序列的单边 Z 变换 X(z) = Σₙ₌₀^∞ x[n]·z^(−n)：覆盖 11 组标准变换对（δ[n]、u[n]、aⁿ、n、n²、n·aⁿ、sin/cos(ω₀n)、aⁿ·sin/aⁿ·cos、(−1)ⁿ），带参数代入、收敛域 |z| > R、推导要点，并可在指定 z 处数值求值（自动校验收敛）。示例：Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5)，|z| > 0.5，X(2) = 4/3。
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案例
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工具使用指南
Z 变换计算器基于单边 Z 变换标准表，快速求解常见离散时间序列的解析表达式 X(z)。工具内置 11 组经典变换对（如指数序列、正余弦序列、阶跃序列等），自动代入底数 a 与角频率 ω₀ 参数，给出对应的收敛域（ROC）与推导说明，并支持在指定复数或实数点 z 处进行收敛性校验与数值计算。
背景
正在完成离散 LTI 系统作业，需要求解几何衰减序列 x[n] = 0.5ⁿ 的 Z 变换并在 z = 2 处取值。
问题
快速获得闭式表达、收敛域并在给定点代入计算以核对解题步骤。
如何使用
选择序列形式为 a^n，输入 a = 0.5，并在求值点输入 z0 = 2。
form: exp, a: 0.5, z0: 2, decimalPlaces: 4结果
输出 X(z) = z/(z − 0.5)，收敛域为 |z| > 0.5，且在 z = 2 处的数值结果为 1.3333。
背景
在设计二阶离散谐振器时，需要确认衰减余弦序列 aⁿ·cos(ω₀n) 的标准 Z 变换表达式及极点参数。
问题
核算参数 a = 0.8、ω₀ = 0.5 时的分子分母多项式系数与收敛边界。
如何使用
选择形式 a^n · cos(ω₀n)，设置 a = 0.8，w = 0.5，z0 = 2。
form: exp_cos, a: 0.8, w: 0.5, z0: 2, decimalPlaces: 4结果
输出 X(z) = z(z − 0.7021)/(z² − 1.4041z + 0.64)，收敛域为 |z| > 0.8，计算得 X(2) = 1.4172。
工具采用单边 Z 变换定义，即求和区间为从 n = 0 到 +∞（X(z) = Σ x[n] z^(−n)）。
收敛域是使级数求和绝对收敛的 z 模长范围；对于因果序列，收敛域通常形如 |z| > R，数值求值必须位于收敛域内。
系统会检测输入的数值点是否满足 |z₀| > R，若不满足收敛条件将给出提示，避免无效求值。
根据频域缩放性质，时域乘以 aⁿ 等价于将变换中的复变量 z 替换为 z/a，从而使极点半径按 a 进行缩放。
不支持任意函数解析，工具专注于离散系统分析中最高频的 11 组标准变换对及其参数化求解。