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对有理函数 F(s) = N(s)/D(s)（真分式，分母次数 ≤ 6）求拉普拉斯逆变换：先对分母求根并按重数/共轭对分组，再解多项式系数线性方程组得到部分分式分解，最后逐项查表反变换（A/(s−r)→Ae^(rt)、A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!、(Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]）。经典例：1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t)；(3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2.5sin(2t)。
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案例
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工具使用指南
拉普拉斯逆变换计算器用于求解有理真分式 F(s) = N(s)/D(s) 的时域原函数 f(t)。工具通过对分母多项式求根并按实根、重根或共轭复根分组，自动建立线性方程组进行部分分式分解，再利用标准拉普拉斯变换对逐项反变换，快速输出清晰的分步推导过程与时域解析解。
背景
在做控制理论作业时，需要求传递函数 F(s) = 1/(s² + 3s + 2) 的时域反变换。
问题
需要快速分解分母因式并验证每项的待定系数值及最终时域指数和。
如何使用
在分子系数输入 1，分母系数输入 2,3,1，小数位数设为 4 并执行计算。
numCoeffs: "1", denCoeffs: "2,3,1", decimalPlaces: 4结果
成功分解为 1/(s+1) - 1/(s+2)，输出反变换解析解 f(t) = e^(-t) - e^(-2t)。
背景
分析 LC 谐振回路时，推导出复频域电压响应表达式为 F(s) = (3s + 5)/(s² + 4)。
问题
分母根为纯虚数共轭对 ±2i，需要将其直接转化为正弦与余弦的时域叠加形式。
如何使用
在分子系数输入 5,3，分母系数输入 4,0,1，点击计算。
numCoeffs: "5,3", denCoeffs: "4,0,1", decimalPlaces: 4结果
生成二次项反变换步骤，得到时域输出 f(t) = 3 cos(2t) + 2.5 sin(2t)。
系数需按从常数项到高次项的升幂顺序以逗号分隔输入。例如 3s + 5 输入 5,3；s² + 3s + 2 输入 2,3,1；s² + 4 则输入 4,0,1。
本工具仅支持真分式（分子阶数严格小于分母阶数）。若是假分式，请先进行多项式长除法提取多项式项后再输入余式分式。
分母多项式最高支持 6 次方（对应输入最多 7 个系数）。
系统会自动将共轭复根合并为标准的二次项形式，直接反变换为包含正弦和余弦的指数阻尼振荡项。
可以，通过修改“小数位数”参数（支持 0 到 8 位，默认为 4 位）调整数值计算与输出的保留精度。