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求解 a·y'' + b·y' + c·y = f(x)：解特征方程 ar² + br + c = 0，按判别式给出齐次解（两相异实根 / 二重根 / 共轭复根），用待定系数法求特解（含共振：k 为特征根时试探解乘 x^m），支持常数、多项式、A·e^(kx) 与 A·sin(kx)+B·cos(kx) 右端项；给定 y(x₀) 与 y'(x₀) 时由 2×2 线性方程组定出 C1、C2。经典例：y''−3y'+2y=0，y(0)=1，y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x。
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案例
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工具使用指南
二阶常系数线性微分方程求解器支持快速解析形如 a·y'' + b·y' + c·y = f(x) 的常微分方程。工具通过求解特征方程 ar² + br + c = 0 自动判断实根、重根或共轭复根并输出齐次解，同时采用待定系数法处理常数、多项式、指数及三角函数等激励项（自动处理共振试探乘项），并可结合初始条件精准定出待定常数 C1 与 C2。
背景
正在完成常微分方程作业中的初值问题，需要验证手工计算特征根及 C1、C2 的准确性。
问题
求解微分方程 y'' − 3y' + 2y = 0，初始条件为 y(0) = 1，y'(0) = 0。
如何使用
设置 a=1, b=-3, c=2，右端项选择“无（齐次）”，并输入 x0=0, y0=1, y0prime=0。
{"a": 1, "b": -3, "c": 2, "forcing": "none", "x0": 0, "y0": 1, "y0prime": 0}结果
解得特征根 r1=2, r2=1，齐次解 yh = C1·e^(2x) + C2·e^x，代入初值解得 C1 = -1, C2 = 2，特解为 y = -e^(2x) + 2e^x。
背景
备课机械振动中的无阻尼共振现象，需向学生展示试探解乘 x 的待定系数推导过程。
问题
求解方程 y'' + y = sin(x) 在共振激励下的特解与通解。
如何使用
设置 a=1, b=0, c=1，右端项选择“正弦/余弦”，设置 sinA=1, sinB=0, sinK=1。
{"a": 1, "b": 0, "c": 1, "forcing": "sinusoid", "sinA": 1, "sinB": 0, "sinK": 1}结果
特征根为 ±i，因外力角频率 k=1 与虚根重合，试探解乘 x 得到共振特解 yp = -0.5·x·cos(x)，通解为 y = C1·cos(x) + C2·sin(x) - 0.5·x·cos(x)。
当 Δ < 0 时特征方程为共轭复根 r = α ± βi，齐次解形式为 e^(αx) · (C1·cos(βx) + C2·sin(βx))。
待定系数法会自动将试探解乘以 x（单根重合）或 x²（二重根重合）以消除线性相关，正确导出共振特解。
以逗号分隔输入从常数项到最高次项的系数，例如输入 2,-3,0.5 代表 2 - 3x + 0.5x²（最高支持 5 次）。
定出 C1 与 C2 必须同时提供 y(x₀) 和 y'(x₀)；若未完整提供初值，工具仅输出包含未定常数的通解。
不能，系数 a 为二阶导数 y'' 的系数，必须为非零数值才能构成二阶微分方程。