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纵向相对论多普勒效应：远离源 f = f₀√((1−β)/(1+β))，红移 1+z = √((1+β)/(1−β))；接近则翻转为蓝移。输出频率比、红移 z、观测频率与波长（自动标注波段）。示例追踪以 0.5c 远去的星系 Hα 线进入红外——宇宙学红移与恒星视向速度巡天用的正是同一公式。

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相对论动能 K = (γ−1)mc²：总能量 γmc² 减去静止能量 mc²，并同时给出经典 ½mv² 与比值 K/K_classical——0.8c 时经典公式已低估一半，接近光速时差距发散。电子/质子/自定义质量，速度按 β 或 m/s 输入，能量以 MeV/GeV 呈现，直接回答加速器“要花多少能量”的问题。

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相对论动量 p = γmv（γ = 1/√(1−v²/c²)）：因子 γ 取代经典力学的 mv，并随 v → c 发散——这正是任何有质量粒子都无法被加速到光速的原因。输出 kg·m/s 与粒子物理惯用的 p·c（eV 系单位），并与经典 mv 对比（比值恰为 γ）。电子/质子/自定义质量，速度按 β 或 m/s 输入。

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静止能量 E₀ = mc²：电子 0.510999 MeV 与质子 938.272088 MeV 是粒子物理质量表的两个锚点（中子 939.565421 MeV，支持自定义 kg 质量）。同时给出质量（kg 与原子质量单位）与能量（焦耳 + eV 系单位）——对撞机论文里就是这样引用质量的：一个 MeV 就是一个质量单位。

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解出经典波函数族的归一化系数 A（使 ∫|ψ|²dx = 1）：无限深阱 ψ = A·sin(nπx/L) 给 A = √(2/L)；高斯 A·exp(−x²/(2σ²)) 给 A = (πσ²)^(−1/4)；谐振子基态 A·exp(−mωx²/(2ℏ)) 给 A = (mω/πℏ)^(1/4)；单边指数 A·exp(−αx) 给 A = √(2α)。附带单位概率检验与 ⟨x⟩、σ_x 矩。

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按里德伯公式 1/λ = R∞(1/m² − 1/n²) 列出氢原子光谱线系：Lyman（n→1，紫外）、Balmer（n→2，可见光为主）、Paschen/Brackett/Pfund（n→3/4/5，红外）。给出每条线的真空波长与光子能量，命名前若干条线（Balmer 为 Hα、Hβ…，其他线系为 α、β…）并标注 Balmer 四条可见线的颜色，附线系极限 n → ∞。

Date & Time

解析 ISO 8601 时长、校验 8601-2 扩展、执行日历真实算术、按锚点真实时长排序并计算时刻之差。

Math & Numbers

查找模 n 的原根：先判断 n 是否属于 {2, 4, p^k, 2p^k}（乘法群为循环群），再给出最小原根及其判别证书（对每个整除 φ(n) 的素数 q 都有 g^(φ/q) ≠ 1）、原根总数 φ(φ(n))，可列出最多 50 个原根，或验证指定候选 g 的阶是否等于 φ(n)。支持 n ≤ 10¹²。

Math & Numbers

计算素数计数函数 π(n)——不超过 n 的素数个数。用一遍埃拉托色尼筛（上限 10⁷）精确计数，同时给出 n/ln n 近似、素数密度、平均间隔和不超过 n 的最大素数，可选列出最靠近 n 的至多 20 个素数。经典基准值：π(100) = 25、π(1000) = 168、π(10⁶) = 78498、π(10⁷) = 664579。

Math & Numbers

求解 2–6 × 2–6 双人零和博弈（支付矩阵归行方——最大化者，列方支付）：先做鞍点检验（行最小值的最大值 = 列最大值的最小值时存在纯策略均衡，列出所有鞍点格）；否则移位矩阵使元素 ≥ 1 后用单阶段单纯形（松弛基、Bland 规则）求解 max Σz s.t. Bz ≤ 1，其原始解给出列方混合策略 q，对偶影子价格恰为行方 LP 解 y，值移回后给出 x、q、v，并数值验证双方安全策略（xᵀA ≥ v、Aq ≤ v）与极小极大相等。经典例：猜硬币 [[1,-1],[-1,1]] → 值 0，双方各以 0.5/0.5 混合。

Math & Numbers

Dijkstra 最短路径的手算辅助工具：输入 1–30 条边（每行：起点、终点、权重）与起点/终点，默认无向、可切换有向。逐轮记录“定居哪个节点、距离多少、每次松弛如何更新临时距离表”，平局按字典序取最小节点名，日志与教科书演算完全一致；负权重按业务拒绝，终点不可达作为合法结果报告。经典例：A-B 4、A-C 2、B-C 5、B-D 10、C-E 3、D-E 4、D-F 11、E-F 8，从 A 到 F → 最短距离 13，路径 A→C→E→F。

Network

解析原始 HTTP 请求或 curl 命令，从响应 Date 头估算客户端-服务端时钟偏移（NTP 中点公式），检查时间戳凭证（X-Amz-Date、x-ms-date、X-Timestamp、JWT iat/nbf），按 ±偏移重放并对照真实容差窗口（AWS SigV4 ±15 分钟、Azure、OAuth、JWT leeway）给出差异结论。