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全内反射：光从光密介质 n₁ 射向光疏介质 n₂（n₁ > n₂）时，临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 是折射消失、界面变成完美镜面的分界。工具同时给出布儒斯特（起偏）角 arctan(n₂/n₁)。内置经典：玻璃→空气 41.810315°、钻石→空气 24.439744°——正是这扇窄窗让钻石熠熠生辉。

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介质界面 n₁ → n₂ 的菲涅耳方程：Snell 定出 θ₂ 后，振幅系数 r_s = (n₁cosθ₁−n₂cosθ₂)/(n₁cosθ₁+n₂cosθ₂)、r_p = (n₂cosθ₁−n₁cosθ₂)/(n₂cosθ₁+n₁cosθ₂)，反射率 R = r²。p 偏振反射在布儒斯特角 arctan(n₂/n₁) 处消失；正入射时两种偏振同给 R = ((n₁−n₂)/(n₁+n₂))²——空气中未镀膜玻璃表面著名的 4%。

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Schwarzschild 度规下的引力时间膨胀：距质量 M 半径 r 处的时钟以 dτ = dt·√(1 − 2GM/(rc²)) 的速率相对无穷远时钟行走。内置两个经典案例——地球 GPS 轨道半径（相对无穷远每天慢 14.4 µs，即 GPS 修正的引力部分）与太阳光球层（那里的一年比远处长 66.9 秒）。天体可选地球/太阳/自定义质量，r ≤ r_s 视界内将被拒绝。

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静止能量 E₀ = mc²：电子 0.510999 MeV 与质子 938.272088 MeV 是粒子物理质量表的两个锚点（中子 939.565421 MeV，支持自定义 kg 质量）。同时给出质量（kg 与原子质量单位）与能量（焦耳 + eV 系单位）——对撞机论文里就是这样引用质量的：一个 MeV 就是一个质量单位。

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里德伯公式 1/λ = R·Z²(1/n₁² − 1/n₂²)：任选核电荷 Z 的类氢离子（He⁺、Li²⁺…）与下/上能级，支持无限质量 R∞，或按氢-1/氘/氦-4/自定义核质量做约化质量修正。输出波长、光子能量、频率与波段；He⁺ 4→2 会标注它与氢 Lyman-α 的 Pickering 重合，氢 Balmer 线标注 Hα–Hδ 颜色。

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单缝衍射极小位置 a·sinθ = mλ（m = 1, 2, 3…）：中央亮纹宽度 ±θ₁，恰是其余条纹的两倍。工具输出前四级极小角位置，给定屏距时一并给出线位置——与双缝干涉极大图像互为姊妹篇。

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折射定律 n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂：可求折射角 θ₂，也可反解入射角 θ₁。当光从光密介质射向光疏介质且 sinθ 超过 1 时，工具报告全内反射并给出临界角，而非硬算。示例追踪同一条光线：进入玻璃 30° → 19.47°，射出玻璃 30° → 48.59°（逼近 41.81° 临界角）。

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自旋量子数 s 的角动量大小 |S| = √(s(s+1))ℏ、多重性 2s+1、全部允许投影 mₛ 阶梯，以及选定 mₛ 的 S_z、极角 θ 与“锥面”图像：|S| 永远大于最大投影 s。支持 0 到 9.5 的整数与半整数自旋——电子 s = 1/2、光子 s = 1、Δ 重子 s = 3/2 都可直接算。

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氢原子玻尔模型：r_n = n²a₀（玻尔半径 a₀ = 0.052918 nm）、E_n = −13.605693/n² eV、v_n = αc/n、轨道周期 T = 2πr/v。可选指定跃迁目标能级 m，输出跃迁能量与发射/吸收光子波长，并标注所属线系（Lyman/Balmer/Paschen/Brackett/Pfund/Humphreys），如 3→2 即著名的 Hα 656.1 nm 红线。

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按里德伯公式 1/λ = R∞(1/m² − 1/n²) 列出氢原子光谱线系：Lyman（n→1，紫外）、Balmer（n→2，可见光为主）、Paschen/Brackett/Pfund（n→3/4/5，红外）。给出每条线的真空波长与光子能量，命名前若干条线（Balmer 为 Hα、Hβ…，其他线系为 α、β…）并标注 Balmer 四条可见线的颜色，附线系极限 n → ∞。

Date & Time

解析 ISO 8601 时长、校验 8601-2 扩展、执行日历真实算术、按锚点真实时长排序并计算时刻之差。

Media

分析音频文件，按互相关为最无缝的循环点排序，并导出带环绕交叉淡化的最佳修剪循环。