Math & Numbers

Busca raízes primitivas módulo n: verifica se n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (grupo multiplicativo cíclico), encontra a menor raiz primitiva com certificado g^(φ/q) ≠ 1 para cada primo q | φ(n), conta as raízes como φ(φ(n)), lista até 50 delas ou verifica se a ordem de um candidato g é igual a φ(n). Até 10¹².

Math & Numbers

Calcula a função de contagem de primos π(n) — quantos primos são ≤ n. Uma peneira de Eratóstenes em uma passada (limite 10⁷) conta com exatidão, junto com a aproximação n/ln n, a densidade de primos, o intervalo médio e o maior primo ≤ n; opcionalmente lista até 20 primos próximos de n. Referências clássicas: π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.

Math & Numbers

Calcula o símbolo de Jacobi (a/n) (n ímpar até 10¹⁸; Legendre se n for primo): módulo um primo, a^((n−1)/2) ≡ 1 indica resíduo quadrático e Tonelli–Shanks (ou a fórmula direta se p ≡ 3 (mod 4)) fornece as raízes ±√a; o símbolo −1 certifica que a NÃO é resíduo. Com módulo composto o símbolo é só necessário: −1 prova não-resíduo e +1 é inconclusivo (resolvido por força bruta quando n ≤ 10⁵). Clássico: 10 é resíduo quadrático mod 13 com raízes ±6.

Math & Numbers

Calcula as métricas de regime permanente da fila M/M/1: chegadas de Poisson (taxa λ), serviço exponencial (taxa μ), FCFS. Exige λ < μ; caso contrário o sistema é instável e a entrada é rejeitada. Reporta a utilização ρ, a probabilidade de sistema vazio P0, os números médios L (no sistema) e Lq (na fila), os tempos médios W e Wq, a probabilidade de esperar ρ e as probabilidades de estado P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), com verificação cruzada pela lei de Little L = λW, Lq = λWq. Clássico: λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333.

Math & Numbers

Calcula as métricas de regime permanente da fila M/M/c (chegadas de Poisson com taxa λ, c servidores exponenciais idênticos com taxa μ, uma fila FCFS compartilhada): trafego oferecido a = λ/μ, utilização por servidor ρ, probabilidade de sistema vazio P0, probabilidade de espera de Erlang-C Pw, números médios Lq e L, tempos médios W e Wq, com verificação cruzada pela lei de Little e pela relação Pw→Lq. Exige λ < cμ (senão rejeita por instabilidade); com c = 1 as fórmulas colapsam em M/M/1. Clássico: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.

Math & Numbers

Conversão bidirecional entre pH e concentração de íons hidrogênio: [H⁺] = 10^(−pH) mol/L e pH = −log₁₀[H⁺]. Aceita mol/L, mmol/L, µmol/L e nmol/L (a fisiologia clínica usa nmol/L: sangue arterial pH 7,35–7,45 corresponde a ≈35–45 nmol/L; pH 7,40 ↔ 39,8 nmol/L); a faixa de pH −3 a 16 cobre de superácidos a bases concentradas.

Health

Calcula o tempo de duplicação (ou meia-vida) de populações, capital ou recursos e calibra a precisão da regra: informe a taxa composta por período g% (negativa → meia-vida) e obtenha a estimativa T̂ = numerador/g (70 padrão ecológico, 72 cálculo mental financeiro, 69.3 contínuo), o valor exato discreto T = ln2/ln(1+g%), o contínuo T = ln2/(g/100) e o erro percentual da estimativa. Tabela dos momentos ×2/×4/×8/×16 (ou ÷2/÷4/÷8/÷16) com projeções — com taxa periódica, os tempos n× não são exatamente lineares. A regra é mais precisa perto de g ≈ 2–8%; o erro cresce com |g| (≈ −8% a 20%). Complementa exponential-growth-population, que calcula N(t) adiante; este responde «quanto tempo até ×2 ou ÷2?».

Health

Calcula o burst size de um experimento de crescimento em uma etapa: burst = (PFU/mL livres após lise − PFU/mL inoculados) ÷ células infectadas, onde células infectadas = densidade celular × percentual infectado. O percentual pode ser estimado por adsorção de Poisson P = 1 − e^(−MOI): MOI 1 ≈ 63%, MOI 2 ≈ 86%, MOI 3 ≈ 95%, MOI 5 ≈ 99%. Interpretação: <20 baixo, 20–100 comum (λ ≈ 50–100), 100–300 alto (tipo T4 ≈ 100–200+), >300 verifique.

Health

Calcula o título a partir de um ensaio de placas em ágar duplo: PFU/mL = contagem média de placas × fator de diluição ÷ volume plaqueado (mL). Aceita várias placas e reporta média, desvio padrão e CV%, com checagem da faixa contável (~30–300 placas: menos de 30 use diluição menor; mais de 300 as placas se fundem). Exemplo: diluição 10⁻⁶, 100 µL, média 108 → 1.08×10⁹ PFU/mL.

Media

Cole uma lista de capítulos com timecodes e gere de uma vez todos os formatos de entrega: JSON de capítulos Podcasting 2.0 (v1.2.0) e tag RSS podcast:chapters, gravação opcional dos frames ID3v2.4 CHAP+CTOC direto num MP3 enviado (milissegundos como uint32 big-endian simples, offsets 0xFFFFFFFF, subframe TIT2 por capítulo, frames existentes preservados), pares de comentários Vorbis CHAPTER001 (OGG/Opus), texto mp4chaps, bloco de timestamps para a descrição do YouTube e sidecar SRT, mais a matriz real de suporte dos players (Apple aceita o JSON via RSS desde 2025; Pocket Casts/Overcast leem só ID3 embutido; Spotify ignora ambos).

Education

Conversão completa de unidades de concentração de proteína: µM = mg/mL × 1000 ÷ MW(kDa); 1% p/v = 10 mg/mL = 1 g/L; 1 µM = 1 pmol/µL. Introduza a concentração, escolha a unidade (mg/mL, µg/mL, g/L, % p/v, µM, nM, mM, pmol/µL) e o peso molecular (kDa) — obtém as 8 unidades de uma vez. Referências: BSA (66,4 kDa) a 10 mg/mL ≈ 151 µM; uma proteína de 50 kDa a 100 µM = 5 mg/mL. Fontes: prefixos SI e convenção % p/v, tabelas Thermo Pierce, NEBioCalculator. Apenas para educação.

Education

Calcula a massa molecular de uma proteína a partir da sequência: MW = Σ massas médias dos resíduos + H₂O (18,01524 Da), com a mesma tabela do ExPASy ProtParam (A 71,0788 … W 186,2132). A entrada não diferencia maiúsculas; espaços e separadores * - . são removidos; códigos de ambiguidade (B/J/O/U/X/Z) não são somados, mas contados e reportados. O resultado é a cadeia polipeptídica não modificada: sem remoção de peptídeo sinal, pontes dissulfeto (−2H por ponte), PTMs ou tags. Retorna kDa, massa média por resíduo e comprimento. Fontes: ExPASy ProtParam (Gasteiger 2005), manual de Fasman. Apenas para educação.