浏览运行中的工具目录 | 第 141 页

普朗克黑体辐射定律 B_λ(T) = (2hc²/λ⁵)/(e^(hc/λkT) − 1)：输入温度（默认太阳光球 5778 K）与可选的评估波长，输出维恩峰值 λ_max = b/T 及峰值处的单色辐亮度/辐出度、指定波长处的数值（以峰值百分比表示）以及斯特藩-玻尔兹曼总辐出度 M = σT⁴。310 K 的人体示例给出 9.35 µm 红外峰值——热成像仪的工作波段。

马吕斯定律 I = I₀·cos²θ：偏振片只透过电场在其轴上的投影，光强按 cos²θ 衰减。工具输出透射光强与百分比，三个标志角度写进结果注记——0° 全透、45° 减半、90° 消光（正交偏振片）。

量子谐振子能级 E_n = (n + ½)ℏω：可由质量与弹簧劲度（ω = √(k/m)）、角频率或频率输入。输出零点能 E_0 = ½ℏω（谐振子永远无法完全静止）、严格等间距的能级差 ħω、相邻跃迁光子波长、经典转折点，可选列出能级阶梯。分子振动约 0.1–0.4 eV 的能级差正来自这里的 ħω。

计算光电效应 E_k(max) = hν − φ：光子可按波长或频率给出，阴极可选铯/钠/钾/钙/锌/铜/铂等常见金属逸出功或自定义 φ（eV）。输出光子能量、截止频率 ν₀ = φ/h、截止波长 λ₀ = hc/φ、最大动能与能否发射的判定、遏止电压 V_s = E_k/e 以及光电子最大速度，并结合「红限」解释为何增强光强无法弥补频率不足。

查找模 n 的原根：先判断 n 是否属于 {2, 4, p^k, 2p^k}（乘法群为循环群），再给出最小原根及其判别证书（对每个整除 φ(n) 的素数 q 都有 g^(φ/q) ≠ 1）、原根总数 φ(φ(n))，可列出最多 50 个原根，或验证指定候选 g 的阶是否等于 φ(n)。支持 n ≤ 10¹²。

计算素数计数函数 π(n)——不超过 n 的素数个数。用一遍埃拉托色尼筛（上限 10⁷）精确计数，同时给出 n/ln n 近似、素数密度、平均间隔和不超过 n 的最大素数，可选列出最靠近 n 的至多 20 个素数。经典基准值：π(100) = 25、π(1000) = 168、π(10⁶) = 78498、π(10⁷) = 664579。

计算 Jacobi 符号 (a/n)（n 为奇数，可达 10¹⁸；素数时即 Legendre 符号）：素数模下 a^((n−1)/2) ≡ 1 判定为二次剩余，并用 Tonelli–Shanks（或 p ≡ 3 (mod 4) 时的直接公式）给出平方根 ±√a；符号为 −1 则 a 一定不是二次剩余。合数模下 Jacobi 符号只是必要条件：−1 证明非剩余，+1 不确定（n ≤ 10⁵ 时自动暴力枚举求真相）。经典例：10 是 mod 13 的二次剩余，根为 ±6。

计算 M/M/1 单服务台排队系统的稳态指标：泊松到达（率 λ）、指数服务（率 μ）、FCFS。要求 λ < μ，否则系统不稳定（队列无限增长）并按业务拒绝处理。输出利用率 ρ、系统空闲概率 P0、系统中平均人数 L、队列平均等待人数 Lq、平均逗留时间 W、平均等待时间 Wq、顾客需等待的概率 ρ，以及状态概率 P(n) = (1−ρ)ρⁿ（n = 0…5），并用 Little 公式 L = λW、Lq = λWq 交叉验证。经典例：λ = 4/小时、μ = 6/小时 → ρ = 0.6667、L = 2、Lq = 1.3333、W = 0.5、Wq = 0.3333。

计算 M/M/c 多服务台排队系统的稳态指标（泊松到达率 λ、c 个相同指数服务台、各台服务率 μ、共享 FCFS 队列）：给出通达量 a = λ/μ、每台利用率 ρ、系统空闲概率 P0、Erlang-C 等待概率 Pw、队列平均人数 Lq、系统平均人数 L、平均逗留时间 W 与等待时间 Wq，并用 Little 公式与 Pw→Lq 关系交叉验证。要求 λ < cμ，否则按业务拒绝（不稳定）；c = 1 时公式退化为 M/M/1。经典例：λ = 6/小时、μ = 3/小时、c = 3 → P0 = 0.1111、Pw = 0.4444、Lq = 0.8889、L = 2.8889。

计算种群、资金或资源的倍增/减半时间并检验 70 法则的精度：输入每期复合增长率 g%（负值则为半衰期），输出法则估计 T̂ = 分子/g（可选 70 生态学标准 / 72 金融心算 / 69.3 连续复利精确分子）、离散复利精确值 T = ln2/ln(1+g%)、连续复利 T = ln2/(g/100)，以及估计值对精确值的百分比误差。附 ×2/×4/×8/×16（或 ÷2/÷4/÷8/÷16）时刻表与对应数值投影——注意周期利率下 n 倍时间并非严格线性。法则在 g ≈ 2–8% 最准，|g| 越大误差越大（20% 时约 −8%）。与正向计算 N(t) 的 exponential-growth-population 互补，本工具回答「多久翻倍/减半」。

根据双层平板噬菌斑实验计算效价：PFU/mL = 平均斑数 × 稀释倍数 ÷ 接种体积(mL)。支持多板输入并输出均值、标准差与 CV%，附可计数范围检查（约 30–300 斑/板：少于 30 建议降低稀释度，多于 300 斑易融合、计数偏低）。示例：10⁻⁶ 稀释、接种 100 µL、平均 108 斑 → 108×10⁶/0.1 = 1.08×10⁹ PFU/mL。

粘贴时间码章节列表，一次生成全部交付格式：Podcasting 2.0 章节 JSON（v1.2.0）与 RSS podcast:chapters 标签、可选把 ID3v2.4 CHAP+CTOC 章节帧直接烧入上传的 MP3（毫秒为普通大端 uint32、偏移 0xFFFFFFFF、每章嵌 TIT2 子帧、保留原有标签帧）、Vorbis CHAPTER001 注释对（OGG/Opus）、mp4chaps 文本、YouTube 说明栏时间戳块与 SRT 副车文件，并附各播放器真实支持情况（Apple 自 2025 起支持 RSS JSON；Pocket Casts/Overcast 仅读内嵌 ID3；Spotify 两者都不读）。