Loi de Planck du corps noir B_λ(T) = (2hc²/λ⁵)/(e^(hc/λkT) − 1) : saisissez une température (par défaut la photosphère solaire à 5778 K) et une longueur d'onde optionnelle, et obtenez le pic de Wien λ_max = b/T avec la luminance/exitance spectrale au maximum, la valeur à la longueur demandée (en pourcentage du pic) et l'exitance totale de Stefan-Boltzmann M = σT⁴. L'exemple du corps humain à 310 K donne un pic infrarouge à 9.35 µm — la bande des caméras thermiques.

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Calculateur de la loi de Malus

Loi de Malus I = I₀·cos²θ : un polariseur ne transmet que la projection du champ électrique sur son axe, donc l'intensité chute en cos²θ. L'outil donne l'intensité transmise et son pourcentage, avec les trois angles repères notés — 0° tout, 45° moitié, 90° rien (polariseurs croisés).

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Calculateur d'oscillateur harmonique quantique

Niveaux de l'oscillateur harmonique quantique, E_n = (n + ½)ℏω : saisissez masse et constante de raideur (ω = √(k/m)), fréquence angulaire ou fréquence. Donne l'énergie de point zéro E_0 = ½ℏω (l'oscillateur ne peut jamais être au repos), l'espacement rigoureusement uniforme ħω, la longueur d'onde du photon des transitions voisines, les points tournants classiques et, en option, l'échelle des niveaux. Les ~0.1–0.4 eV des vibrations moléculaires viennent précisément de ce ħω.

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Calculateur d'effet photoélectrique

Calcule l'effet photoélectrique E_k(max) = hν − φ : le photon est donné par longueur d'onde ou fréquence, la cathode par le travail de sortie du césium/sodium/potassium/calcium/zinc/cuivre/platine ou un φ personnalisé (eV). Donne l'énergie du photon, le seuil ν₀ = φ/h, la longueur d'onde de coupure λ₀ = hc/φ, l'énergie cinétique maximale avec verdict d'émission, la tension d'arrêt V_s = E_k/e et la vitesse maximale du photoélectron, en expliquant pourquoi l'intensité ne compense pas une fréquence insuffisante.

Math & Numbers

Recherche de racines primitives modulo n

Recherche les racines primitives modulo n : vérifie que n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (groupe multiplicatif cyclique), trouve la plus petite racine avec son certificat g^(φ/q) ≠ 1 pour chaque nombre premier q | φ(n), compte les racines comme φ(φ(n)), en liste jusqu'à 50 ou vérifie si l'ordre d'un candidat g vaut φ(n). Jusqu'à 10¹².

Math & Numbers

Fonction de comptage des nombres premiers π(n)

Calcule la fonction de comptage π(n) — combien de nombres premiers sont ≤ n. Un crible d'Ératosthène en une passe (limite 10⁷) donne le décompte exact, accompagné de l'estimation n/ln n, de la densité des premiers, de l'écart moyen et du plus grand premier ≤ n ; en option, jusqu'à 20 premiers proches de n. Repères classiques : π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.

Math & Numbers

Vérificateur de résidu quadratique (symboles de Legendre/Jacobi)

Calcule le symbole de Jacobi (a/n) (n impair jusqu'à 10¹⁸ ; Legendre si n est premier) : modulo un nombre premier, a^((n−1)/2) ≡ 1 signifie résidu quadratique et Tonelli–Shanks (ou la formule directe si p ≡ 3 (mod 4)) fournit les racines ±√a ; le symbole −1 certifie que a n'est PAS un résidu. Pour un module composé le symbole n'est que nécessaire : −1 prouve la non-résiduosité, +1 reste non concluant (résolu par force brute quand n ≤ 10⁵). Classique : 10 est un résidu quadratique mod 13 avec racines ±6.

Math & Numbers

Calculateur de file d'attente M/M/1

Calcule les métriques en régime permanent de la file M/M/1 : arrivées de Poisson (taux λ), service exponentiel (taux μ), FCFS. Exige λ < μ, sinon le système est instable et l'entrée est rejetée. Rapporte le taux d'occupation ρ, la probabilité P0 de système vide, les nombres moyens L (dans le système) et Lq (en file), les temps moyens W et Wq, la probabilité d'attendre ρ et les probabilités d'état P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), avec vérification croisée par la loi de Little L = λW, Lq = λWq. Classique : λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333.

Math & Numbers

Calculateur de file M/M/c multi-serveurs

Calcule les métriques en régime permanent de la file M/M/c (arrivées de Poisson de taux λ, c serveurs exponentiels identiques de taux μ, file FCFS unique) : trafic offert a = λ/μ, taux d'occupation par serveur ρ, probabilité P0 de système vide, probabilité d'attente d'Erlang-C Pw, nombres moyens Lq et L, temps moyens W et Wq, avec vérification croisée par la loi de Little et la relation Pw→Lq. Exige λ < cμ (sinon rejet pour instabilité) ; avec c = 1 les formules retombent sur M/M/1. Classique : λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.

Health

Temps de Doublement de Population (règle de 70)

Calcule le temps de doublement (ou la demi-vie) d'une population, d'un capital ou d'une ressource et calibre la règle : saisissez le taux composé par période g% (négatif → demi-vie) et obtenez l'estimation T̂ = numérateur/g (70 standard écologie, 72 calcul mental finance, 69.3 continu), la valeur exacte discrète T = ln2/ln(1+g%), la continue T = ln2/(g/100) et l'erreur relative de l'estimation. Tableau des moments ×2/×4/×8/×16 (ou ÷2/÷4/÷8/÷16) avec projections — à taux périodique, les temps n× ne sont pas exactement linéaires. La règle est la plus précise vers g ≈ 2–8%, l'erreur croît avec |g| (≈ −8% à 20%). Complète exponential-growth-population qui calcule N(t) en direct ; celui-ci répond « combien de temps jusqu'au ×2 ou au ÷2 ? ».

Health

Calculateur d'Unités Formant Plaque (PFU/mL)

Calcule le titre d'un test de plages en double couche : PFU/mL = nombre moyen de plages × facteur de dilution ÷ volume ensemencé (mL). Accepte plusieurs boîtes et rapporte moyenne, écart-type et CV%, avec contrôle de la plage comptable (~30–300 plages : moins de 30, réduisez la dilution ; plus de 300, les plages fusionnent). Exemple : dilution 10⁻⁶, 100 µL, moyenne 108 → 1.08×10⁹ PFU/mL.

Media

Générateur de marqueurs de chapitres podcast (ID3 / Podcasting 2.0)

Collez une liste de chapitres horodatés et générez d'un coup tous les formats de livraison : JSON de chapitres Podcasting 2.0 (v1.2.0) et balise RSS podcast:chapters, gravure optionnelle des trames ID3v2.4 CHAP+CTOC dans un MP3 téléversé (millisecondes en uint32 big-endian simple, offsets 0xFFFFFFFF, sous-trame TIT2 par chapitre, trames existantes préservées), paires de commentaires Vorbis CHAPTER001 (OGG/Opus), texte mp4chaps, bloc d'horodatages pour la description YouTube et sidecar SRT, plus la matrice réelle de support des lecteurs (Apple accepte le JSON via RSS depuis 2025 ; Pocket Casts/Overcast ne lisent que l'ID3 embarqué ; Spotify ignore les deux).