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量子谐振子能级 E_n = (n + ½)ℏω：可由质量与弹簧劲度（ω = √(k/m)）、角频率或频率输入。输出零点能 E_0 = ½ℏω（谐振子永远无法完全静止）、严格等间距的能级差 ħω、相邻跃迁光子波长、经典转折点，可选列出能级阶梯。分子振动约 0.1–0.4 eV 的能级差正来自这里的 ħω。
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案例
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工具使用指南
量子谐振子能级计算器用于快速求解一维量子谐振子的特征物理量。用户可以通过质量与劲度系数、角频率或振动频率进行计算，获取指定量子数下的能级能量、零点能、等间距能级差、相邻跃迁吸收或发射的光子波长及经典转折点，并支持列出能级阶梯数据。
背景
正在研究双原子分子的红外吸收光谱，需要估算化学键振动对应的能级间隔与发射光子波长。
问题
已知原子质量约为质子质量（1.673×10⁻²⁷ kg），化学键劲度系数为 500 N/m，需要获取基态零点能及前 4 个振动能级分布。
如何使用
输入方式选择“由质量与弹簧劲度”，填入质量 1.673e-27、劲度系数 500，设定 n = 0，并配置列出至第 3 级。
mode: km, mass: 1.673e-27, springConstant: 500, n: 0, listUpTo: 3结果
得出角频率 ω ≈ 5.47×10¹⁴ rad/s，零点能为 0.1799 eV，能级间距 ħω 为 0.3598 eV，对应相邻跃迁光子波长约 3445.6 nm（中红外区），并列出 n=0 至 n=3 的详细阶梯。
背景
在讲授量子力学对应原理时，需向学生演示为何宏观弹簧振子的能级量子化不可观测。
问题
计算 1 kg 重物挂在 100 N/m 弹簧上的能级间距与零点振幅。
如何使用
选择“由质量与弹簧劲度”模式，输入质量 1，劲度系数 100，量子数 n 设为 0。
mode: km, mass: 1, springConstant: 100, n: 0结果
计算出系统能级间距仅为 6.58×10⁻¹⁵ eV，零点振动振幅仅 3.25×10⁻¹⁸ m，证明其量子间隔在日常尺度下完全表现为连续经典行为。
零点能是振子处于基态（n = 0）时的能量 E_0 = ½ℏω，表明受不确定性原理限制，量子谐振子永远无法完全处于静止状态。
根据薛定谔方程解析解，一维谐振子能级满足严格的等差分布，相邻两级能量差始终恒定为 ΔE = ħω。
支持三种模式：振子质量结合弹簧劲度系数（km）、直接输入角频率（omega），或输入常规振动频率（freq）。
经典转折点是具有该能量的经典振子速度降为零、动能全部转化为势能时的最大位移振幅位置。
通过“同时列出至多到该级”选项，最多支持生成包含 n = 0 至 n = 12 的能级阶梯数据。