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按 Mapbox Vector Tile Specification 2.x 审计 .mvt/.pbf 矢量瓦片与 PMTiles v3 归档：解码 protobuf Layer/Feature/Value 表，校验 MoveTo/LineTo/ClosePath 几何命令流、环绕向与标签索引，检查 Web Mercator 谷歌瓦片 XYZ 边界，解码 PMTiles v3 目录，并标记瓦片大小与要素数预算。

能斯特方程 E = E⁰ − (RT/nF)·lnQ，温度任意：输入标准电势、转移电子数、反应商 Q 与温度（K 或 °C），输出热学因子 RT/F、每十倍 Q 的电位变化 2.303RT/nF、电极电势 E 以及 ΔG = −nFE。锚点：25 °C 时 RT/F = 25.693 mV，单电子电极每十倍 Q 移动 59.16 mV、双电子 29.58 mV；丹尼尔电池（E⁰ = 1.10 V，n = 2）在 Q = 100 时降到 1.041 V。

按几何结构抽取 PDF 文本层（y 坐标分行、列间隙识表、字号识标题、冒号键值对），然后逐字段填入用户提供的 JSON Schema——标签按归一化键名匹配、值按声明类型归一化，并用 ajv 校验。

在指定点用三种有限差分近似 f′(x₀)：前向 (f(x₀+h)−f(x₀))/h、后向 (f(x₀−h) 差分) 与中心 (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h)，另给中心二阶差分 f″。可选填精确导数以显示各方法绝对误差，直观对比 O(h) 与 O(h²) 截断误差。示例：f=x²、x₀=1、h=0.1 时前向 2.1、后向 1.9、中心恰好 2.0。

用复合 Simpson 1/3 法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx（n 为偶数）：S = h/3·(f(a) + 4Σ奇节点 + 2Σ偶内节点 + f(b))，误差 O(h⁴)，对三次及以下多项式精确。逐节点数值表 + 积分估计 + 可选精确值/误差对比。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.333333（精确！）；∫₀¹e^(−x²)dx（无初等原函数）取 n=10 得 0.746825。

用复合梯形法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx：T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b))，逐节点给出数值表、积分估计与可选的精确值/绝对误差对比，误差为 O(h²)（对线性函数精确）。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.34375，与精确值 1/3 相差 0.010417。

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选择分子中存在的官能团（酮、酯、酰胺、醛、芳环、硝基……），预测各基团贡献的 ¹H/¹³C NMR 化学位移区间与 IR 特征吸收带：带标注的模拟红外光谱（4000–400 cm⁻¹）、信号阶梯图、羰基家族鉴别对照表、n+1 规则与偶合常数速查，每个峰都附成因解释（环电流各向异性、氢键、费米共振、诱导效应……）。数值为教科书特征值（LibreTexts / CU Boulder / NIU / UCLA / Chemguide 交叉核对）。

求解并可视化 Lotka–Volterra 种间竞争方程组 dN₁/dt = r₁N₁(1−(N₁+α₁₂N₂)/K₁)、dN₂/dt = r₂N₂(1−(N₂+α₂₁N₁)/K₂)：RK4 数值积分（6000 步）输出双物种 N(t) 时间序列曲线与带零增长等斜线的 N₁–N₂ 相平面轨迹。按等斜线几何自动判定四种经典结局——稳定共存（种间竞争均弱于种内）、物种 1/2 竞争排斥、双稳态优先效应——给出共存平衡点 N₁*=(K₁−α₁₂K₂)/(1−α₁₂α₂₁)、N₂*=(K₂−α₂₁K₁)/(1−α₁₂α₂₁)、终态种群与灭绝判定。支持边界情况（某物种初始为 0）。

求解并可视化经典 Lotka–Volterra 捕食者-猎口方程组 dN/dt = rN − aNP、dP/dt = bNP − mP：RK4 数值积分（6000 步，带 Hamilton 守恒量 V = bN − m·ln N + aP − r·ln P 漂移监控），输出猎物/捕食者相位振荡的时间序列曲线与闭合轨道相平面图（含共存平衡点 N*=m/b、P*=r/a 与线性化周期 T ≈ 2π/√(rm)）。自动检测周期数量与实测周期、种群振幅范围，并说明中性振荡的结构不稳定性——周期振幅完全由初始条件决定，真实系统会因密度依赖而阻尼或因富集悖论而自激。

标记重捕法（Petersen 法）估算封闭种群大小：输入第一批标记释放数 n₁、第二批捕获总数 n₂ 与重捕标记数 m₂，同时给出 Lincoln–Petersen 简单估计 N̂ = n₁n₂/m₂ 与 Chapman 偏差校正估计 N̂ = (n₁+1)(n₂+1)/(m₂+1)−1，附 Seber 标准误与 95% 置信区间、未见过个体数、标记比例与捕获概率。m₂ = 0 或 m₂ > min(n₁, n₂) 会拒绝并提示。前提是封闭种群、标记不脱落不影响存活与可捕性；重捕数少（m₂ < 10）时间隔仅供参考。