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快度 φ = artanh(β)：把相对论速度合成变成普通加法的双曲角。推动（boost）按快度相加复合（tanh(φ₁+φ₂) = 合成 β），γ = cosh φ、γβ = sinh φ，e^φ 就是纵向多普勒因子。β = 0.5 时 φ = 0.549306，加倍得 tanh(1.098612) = 0.8——0.5c + 0.5c = 0.8c 归结为 2φ。

纵向相对论多普勒效应：远离源 f = f₀√((1−β)/(1+β))，红移 1+z = √((1+β)/(1−β))；接近则翻转为蓝移。输出频率比、红移 z、观测频率与波长（自动标注波段）。示例追踪以 0.5c 远去的星系 Hα 线进入红外——宇宙学红移与恒星视向速度巡天用的正是同一公式。

相对论动能 K = (γ−1)mc²：总能量 γmc² 减去静止能量 mc²，并同时给出经典 ½mv² 与比值 K/K_classical——0.8c 时经典公式已低估一半，接近光速时差距发散。电子/质子/自定义质量，速度按 β 或 m/s 输入，能量以 MeV/GeV 呈现，直接回答加速器“要花多少能量”的问题。

相对论动量 p = γmv（γ = 1/√(1−v²/c²)）：因子 γ 取代经典力学的 mv，并随 v → c 发散——这正是任何有质量粒子都无法被加速到光速的原因。输出 kg·m/s 与粒子物理惯用的 p·c（eV 系单位），并与经典 mv 对比（比值恰为 γ）。电子/质子/自定义质量，速度按 β 或 m/s 输入。

一次定义 LLM 工具，同时生成 OpenAI、Anthropic、Gemini 三家经过校验的函数调用 payload。

一维无限深势阱能级 E_n = n²h²/(8mL²)：粒子可选电子/质子/中子/α 粒子或自定义质量，阱宽支持 m–pm 五种单位。输出基态能量 E_1（零点能——阱内粒子永远无法静止）、指定能级、德布罗意驻波检验 λ_dB = 2L/n、n+1 → n 跃迁的光子波长，可选列出至 n = 12 的能级阶梯。把质子关进 10 fm 的核尺度盒子会得到约 2 MeV 的零点能——这正是核物理生活在 MeV 能区的原因。

判定 n 是否为完全数（等于其真因子之和，即 σ(n) = 2n）。对 n（≤ 10¹²）做试除因子分解，由素数幂的 σ 公式求出 σ(n) 与真因子和，分类为亏数/完全数/盈数，给出充裕指数 σ(n)/n；对完全数还原欧几里得–欧拉形式 2^(p−1)·(2^p − 1)，并列出 10¹² 以内的全部七个偶完全数。真因子个数 ≤ 200 时可列出真因子表。

求元素 a 模 n 的乘法阶 ord_n(a)——使 a^k ≡ 1 (mod n) 的最小 k ≥ 1（要求 gcd(a, n) = 1）。算法从 φ(n) 出发逐个剥去素因子并测试 a^(ord/p)，输出 a 的幂表、最小性证明（对每个整除 k 的素数 p 验证 a^(k/p) ≢ 1）、生成的循环子群 <a>，并标注 a 是否为原根（ord = φ(n)）或达到最大阶（ord = λ(n)）。经典例：ord_7(3) = 6 = φ(7)，3 是 mod 7 的原根；ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8。

Friedman 与 Iman-Davenport 检验（精确 p 值）、平均排名、Nemenyi 临界差与经典 CD 图（含无显著差异 clique），另可叠加对对照模型的 Bonferroni-Dunn。

对 2–20 个活动做 PERT 三点估计分析（每行：名称、乐观 a、最可能 m、悲观 b、紧前活动）：te = (a+4m+b)/6，σ² = ((b−a)/6)²；在 te 上运行 CPM 得关键路径、期望项目工期 TE 与项目方差（关键路径上 σ² 之和）；给出目标工期 T 时按正态近似计算 Z = (T−TE)/σ 与完工概率 Φ(Z)。a≤m≤b 违规、循环依赖按业务拒绝；σ≈0 的确定性网络按确定性处理。经典例：A(2,4,6)、B(3,5,7)、C(2,3,10)、D(4,6,8, B C) → TE = 15，σ² = 1.3333，T = 16 时概率 ≈ 80.7%。

用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。

对有理函数 F(x) = N(x)/D(x) 做部分分式分解（分母次数 ≤ 6，分子次数 ≤ 8，假分式自动先做多项式长除）：Durand-Kerner 求分母根并按重数/共轭对分组，解多项式系数线性方程组得到 A/(x−r)^j 与 (Bx+C)/((x−α)²+β²) 形式的分解，并在代数探针点做数值残差验证。经典例：(3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2)；(x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1)；1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)²。