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Reflexão interna total: quando a luz cruza de um meio n₁ para um mais raro n₂ (n₁ > n₂), o ângulo crítico θ_c = arcsin(n₂/n₁) marca o limite além do qual não existe refração e a fronteira torna-se um espelho perfeito. A ferramenta também dá o ângulo de Brewster (de polarização) arctan(n₂/n₁). Clássicos incluídos: vidro → ar 41.810315° e diamante → ar 24.439744° — a janela estreita que faz os diamantes cintilarem.

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Equações de Fresnel na interface n₁ → n₂: depois que Snell fixa θ₂, os coeficientes de amplitude são r_s = (n₁cosθ₁−n₂cosθ₂)/(n₁cosθ₁+n₂cosθ₂) e r_p = (n₂cosθ₁−n₁cosθ₂)/(n₂cosθ₁+n₁cosθ₂), com refletâncias R = r². A reflexão p desaparece no ângulo de Brewster arctan(n₂/n₁); na incidência normal ambas as polarizações dão R = ((n₁−n₂)/(n₁+n₂))² — os famosos 4% de cada superfície de vidro sem revestimento no ar.

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Dilatação gravitacional do tempo na métrica de Schwarzschild: um relógio no raio r da massa M anda a dτ = dt·√(1 − 2GM/(rc²)) em relação a um relógio no infinito. Inclui os dois casos clássicos — o raio orbital do GPS terrestre (14.4 µs/dia mais lento que o infinito, a metade gravitacional da correção do GPS) e a fotosfera solar, onde um ano dura 66.9 s a mais do que longe. Corpo: Terra/Sol/massa personalizada; r ≤ r_s é rejeitado como interior do horizonte.

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Energia de repouso E₀ = mc²: os 0.510999 MeV do elétron e os 938.272088 MeV do próton são as duas âncoras da tabela de massas da física de partículas (nêutron 939.565421 MeV; massa personalizada em kg bem-vinda). Retorna massa (kg e unidades de massa atômica) e energia (joules + unidades eV) — é assim que os artigos de colisores citam massas: um MeV é uma unidade de massa.

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Fórmula de Rydberg 1/λ = R·Z²(1/n₁² − 1/n₂²): escolha um íon hidrogenoide de carga Z (He⁺, Li²⁺…) e os níveis inferior/superior, com R∞ de massa infinita ou correção de massa reduzida para hidrogênio-1, deutério, hélio-4 ou massa personalizada. Retorna comprimento de onda, energia do fóton, frequência e banda; o 4→2 do He⁺ aponta a coincidência com a Lyman-α do hidrogênio (série de Pickering) e as linhas de Balmer mostram suas cores Hα–Hδ.

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Mínimos de difração por fenda única a·sinθ = mλ (m = 1, 2, 3, …): o máximo central estende-se por ±θ₁, o dobro da largura de qualquer outra franja. A ferramenta dá os quatro primeiros mínimos em ângulo e, com a distância do anteparo, em posição linear — a imagem irmã dos máximos da dupla fenda.

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Lei de Snell n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂: resolve o ângulo de refração θ₂ ou desfaz para o de incidência θ₁. Quando a luz vai de meio denso para menos denso e o sinθ excede 1, a ferramenta informa reflexão interna total com o ângulo crítico em vez de forçar um número. Os exemplos seguem o mesmo raio: entra no vidro 30° → 19.47°, sai do vidro 30° → 48.59° (beirando o ângulo crítico de 41.81°).

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Módulo do momento angular de spin |S| = √(s(s+1))ℏ para um número quântico s, a multiplicidade 2s+1, a escada completa de projeções permitidas mₛ e, para a mₛ escolhida, S_z, o ângulo polar θ e a imagem do «cone»: |S| sempre excede a projeção máxima s. Aceita spins inteiros e semi-inteiros de 0 a 9.5 — elétron s = 1/2, fóton s = 1 ou o bárion Δ s = 3/2 calculam-se diretamente.

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Modelo de Bohr do hidrogênio: r_n = n²a₀ (raio de Bohr a₀ = 0.052918 nm), E_n = −13.605693/n² eV, v_n = αc/n e período orbital T = 2πr/v. Com um nível alvo opcional m, calcula a energia de transição e o comprimento de onda do fóton emitido/absorvido, com sua série (Lyman/Balmer/Paschen/Brackett/Pfund/Humphreys) — por ex. 3→2 é a famosa linha vermelha Hα em 656.1 nm.

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Lista as séries espectrais do hidrogênio pela fórmula de Rydberg 1/λ = R∞(1/m² − 1/n²): Lyman (n→1, ultravioleta), Balmer (n→2, sobretudo visível), Paschen/Brackett/Pfund (n→3/4/5, infravermelho). Mostra o comprimento de onda no vácuo e a energia de cada linha, nomeia as primeiras (Hα, Hβ… em Balmer; α, β… nas demais) com as cores das quatro linhas visíveis de Balmer, e adiciona o limite da série n → ∞.

Date & Time

Analisa durações ISO 8601, valida extensões 8601-2, executa aritmética calendária real, ordena por duração real e calcula diferenças de instantes.

Media

Analisa um áudio, classifica os pontos de loop mais fluidos por correlação cruzada e exporta o melhor loop com crossfade envolvente.