Science & Education

Efeito Doppler relativístico longitudinal: uma fonte que se afasta com β dá f = f₀·√((1−β)/(1+β)) e desvio para o vermelho 1+z = √((1+β)/(1−β)); ao aproximar-se a razão se inverte em desvio para o azul. Retorna a razão de frequências, z, e a frequência e o comprimento de onda observados com a banda. O exemplo segue a linha Hα de uma galáxia que se afasta a 0.5c rumo ao infravermelho — o mesmo desplazamento da cosmologia e das pesquisas de velocidades radiais.

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Energia cinética relativística K = (γ−1)mc²: a energia total γmc² menos a energia de repouso mc², junto com a clássica ½mv² e a razão K/K_clássica — a 0.8c a fórmula clássica já subestima à metade, e perto de c a defasagem diverge. Elétron/próton/massa personalizada, velocidade em β ou m/s, energias em MeV/GeV: a resposta direta de quanto energia custa acelerar.

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Momento relativístico p = γmv (γ = 1/√(1−v²/c²)): o fator γ substitui o mv clássico e diverge quando v → c — a razão pela qual nenhuma partícula massiva pode ser acelerada até a velocidade da luz. Retorna kg·m/s e o p·c em unidades eV caras aos físicos de partículas, junto com o mv clássico para comparação (a razão é exatamente γ). Elétron/próton/massa personalizada, velocidade em β ou m/s.

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Energia de repouso E₀ = mc²: os 0.510999 MeV do elétron e os 938.272088 MeV do próton são as duas âncoras da tabela de massas da física de partículas (nêutron 939.565421 MeV; massa personalizada em kg bem-vinda). Retorna massa (kg e unidades de massa atômica) e energia (joules + unidades eV) — é assim que os artigos de colisores citam massas: um MeV é uma unidade de massa.

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Resolve a constante de normalização A (tal que ∫|ψ|²dx = 1) para as famílias clássicas: poço infinito ψ = A·sin(nπx/L) dá A = √(2/L); gaussiana A·exp(−x²/(2σ²)) dá A = (πσ²)^(−1/4); estado fundamental do oscilador A·exp(−mωx²/(2ℏ)) dá A = (mω/πℏ)^(1/4); exponencial unilateral A·exp(−αx) dá A = √(2α). Inclui a verificação de probabilidade unitária e os momentos ⟨x⟩, σ_x.

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Lista as séries espectrais do hidrogênio pela fórmula de Rydberg 1/λ = R∞(1/m² − 1/n²): Lyman (n→1, ultravioleta), Balmer (n→2, sobretudo visível), Paschen/Brackett/Pfund (n→3/4/5, infravermelho). Mostra o comprimento de onda no vácuo e a energia de cada linha, nomeia as primeiras (Hα, Hβ… em Balmer; α, β… nas demais) com as cores das quatro linhas visíveis de Balmer, e adiciona o limite da série n → ∞.

Date & Time

Analisa durações ISO 8601, valida extensões 8601-2, executa aritmética calendária real, ordena por duração real e calcula diferenças de instantes.

Math & Numbers

Busca raízes primitivas módulo n: verifica se n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (grupo multiplicativo cíclico), encontra a menor raiz primitiva com certificado g^(φ/q) ≠ 1 para cada primo q | φ(n), conta as raízes como φ(φ(n)), lista até 50 delas ou verifica se a ordem de um candidato g é igual a φ(n). Até 10¹².

Math & Numbers

Calcula a função de contagem de primos π(n) — quantos primos são ≤ n. Uma peneira de Eratóstenes em uma passada (limite 10⁷) conta com exatidão, junto com a aproximação n/ln n, a densidade de primos, o intervalo médio e o maior primo ≤ n; opcionalmente lista até 20 primos próximos de n. Referências clássicas: π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.

Math & Numbers

Resolve jogos de soma zero 2–6 × 2–6 (a matriz de pagamentos pertence ao jogador linha, o maximizador; o jogador coluna paga): primeiro o teste de ponto de sela (se o maximin dos mínimos das linhas iguala o minimax dos máximos das colunas, há equilíbrio em estratégias puras e todas as células de sela são listadas); caso contrário a matriz é deslocada para que todas as entradas sejam ≥ 1 e um simplex monofásico (base de folgas, regra de Bland) resolve max Σz s.a. Bz ≤ 1: o primal dá a estratégia mista q do jogador coluna e os preços duais de sombra são exatamente a solução y do jogador linha; o valor é deslocado de volta e x, q, v são verificados numericamente (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) junto com a igualdade minimax. Clássico: cara ou coroa [[1,-1],[-1,1]] → valor 0 com misturas 0.5/0.5.

Math & Numbers

Auxílio ao cálculo manual de Dijkstra: informe 1–30 arestas (uma por linha: origem, destino, peso) e os nós de origem/destino; não dirigido por padrão, com opção dirigida. Cada iteração registra qual nó é fixado, com qual distância e como cada relaxamento atualiza a tabela tentativa; empates resolvem pelo menor nome lexicográfico, então o registro coincide com o traço de livro-texto; pesos negativos são rejeitados e um destino inalcançável é reportado como resposta válida. Clássico: A-B 4, A-C 2, B-C 5, B-D 10, C-E 3, D-E 4, D-F 11, E-F 8, de A para F → distância 13 via A→C→E→F.

Network

Analisa uma requisição HTTP bruta ou um comando curl, estima o skew de relógio cliente↔servidor a partir do cabeçalho Date (fórmula de ponto médio estilo NTP), inspeciona credenciais com timestamp (X-Amz-Date, x-ms-date, X-Timestamp, JWT iat/nbf), repete com offsets ±skew e compara com janelas de tolerância reais (AWS SigV4 ±15 min, Azure, OAuth, leeway JWT).