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在模 m 下做加、减、乘、逆元与快速幂运算，全部使用 BigInt 精确计算（数值可达 10¹⁸）。加、减、乘给出逐步约简过程并输出 [0, m−1] 上的规范代表；逆元用扩展欧几里得算法求 a⁻¹ mod m，gcd(a, m) ≠ 1 时明确报告不存在；快速幂展示平方-乘法表中指数二进制分解的每个数位。经典例：17⁵ mod 13 = 10；5⁻¹ mod 18 = 11。

按几何结构抽取 PDF 文本层（y 坐标分行、列间隙识表、字号识标题、冒号键值对），然后逐字段填入用户提供的 JSON Schema——标签按归一化键名匹配、值按声明类型归一化，并用 ajv 校验。

用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。

在指定点用三种有限差分近似 f′(x₀)：前向 (f(x₀+h)−f(x₀))/h、后向 (f(x₀−h) 差分) 与中心 (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h)，另给中心二阶差分 f″。可选填精确导数以显示各方法绝对误差，直观对比 O(h) 与 O(h²) 截断误差。示例：f=x²、x₀=1、h=0.1 时前向 2.1、后向 1.9、中心恰好 2.0。

用复合 Simpson 1/3 法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx（n 为偶数）：S = h/3·(f(a) + 4Σ奇节点 + 2Σ偶内节点 + f(b))，误差 O(h⁴)，对三次及以下多项式精确。逐节点数值表 + 积分估计 + 可选精确值/误差对比。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.333333（精确！）；∫₀¹e^(−x²)dx（无初等原函数）取 n=10 得 0.746825。

用复合梯形法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx：T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b))，逐节点给出数值表、积分估计与可选的精确值/绝对误差对比，误差为 O(h²)（对线性函数精确）。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.34375，与精确值 1/3 相差 0.010417。

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Beer-Lambert 定律 A = ε·c·l 四量互求：由其余三个量求解吸光度 A、摩尔消光系数 ε（M⁻¹cm⁻¹）、浓度（M/mM/µM/nM）或光程（cm/mm）。内置经典锚点 NADH ε₃₄₀ = 6220 M⁻¹cm⁻¹（100 µM 于 1 cm 比色杯 → A = 0.622），是酶活性测定的基础。

选择分子中存在的官能团（酮、酯、酰胺、醛、芳环、硝基……），预测各基团贡献的 ¹H/¹³C NMR 化学位移区间与 IR 特征吸收带：带标注的模拟红外光谱（4000–400 cm⁻¹）、信号阶梯图、羰基家族鉴别对照表、n+1 规则与偶合常数速查，每个峰都附成因解释（环电流各向异性、氢键、费米共振、诱导效应……）。数值为教科书特征值（LibreTexts / CU Boulder / NIU / UCLA / Chemguide 交叉核对）。

输入分子量即可在摩尔浓度（mol/L、mmol/L 即 mM、µmol/L）与质量浓度（g/L、mg/L、mg/mL、mg/dL、µg/mL）之间互换：mg/L = mmol/L × 分子量，mg/mL = mM × MW ÷ 1000。一次换算输出全部常用单位，覆盖经典临床换算如血糖 5 mmol/L = 90.08 mg/dL（葡萄糖 MW 180.156）、生理盐水 9 g/L NaCl = 154 mmol/L（MW 58.44）。不构成医疗建议。

求解并可视化 Lotka–Volterra 种间竞争方程组 dN₁/dt = r₁N₁(1−(N₁+α₁₂N₂)/K₁)、dN₂/dt = r₂N₂(1−(N₂+α₂₁N₁)/K₂)：RK4 数值积分（6000 步）输出双物种 N(t) 时间序列曲线与带零增长等斜线的 N₁–N₂ 相平面轨迹。按等斜线几何自动判定四种经典结局——稳定共存（种间竞争均弱于种内）、物种 1/2 竞争排斥、双稳态优先效应——给出共存平衡点 N₁*=(K₁−α₁₂K₂)/(1−α₁₂α₂₁)、N₂*=(K₂−α₂₁K₁)/(1−α₁₂α₂₁)、终态种群与灭绝判定。支持边界情况（某物种初始为 0）。

求解并可视化经典 Lotka–Volterra 捕食者-猎口方程组 dN/dt = rN − aNP、dP/dt = bNP − mP：RK4 数值积分（6000 步，带 Hamilton 守恒量 V = bN − m·ln N + aP − r·ln P 漂移监控），输出猎物/捕食者相位振荡的时间序列曲线与闭合轨道相平面图（含共存平衡点 N*=m/b、P*=r/a 与线性化周期 T ≈ 2π/√(rm)）。自动检测周期数量与实测周期、种群振幅范围，并说明中性振荡的结构不稳定性——周期振幅完全由初始条件决定，真实系统会因密度依赖而阻尼或因富集悖论而自激。