Was bedeutet der Konvergenzbereich (ROC)?

Der Konvergenzbereich (|z| > R) gibt die Werte in der komplexen Zahlenebene an, für die die unendliche Summe der einseitigen Z-Transformation absolut konvergiert.

Welche 11 Standardpaare stehen zur Verfügung?

Enthalten sind δ[n], u[n], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin(ω₀n), cos(ω₀n), aⁿ·sin(ω₀n), aⁿ·cos(ω₀n) und (−1)ⁿ.

Was passiert, wenn die Stelle z außerhalb des Konvergenzbereichs liegt?

Das Tool prüft die Konvergenzbedingung; liegt z nicht im Bereich |z| > R, wird die Auswertung als ungültig gekennzeichnet.

In welcher Einheit wird der Parameter ω₀ eingegeben?

Die Winkelfrequenz ω₀ wird in Radiant pro Abtastwert (rad/Sample) angegeben.

Berechnet das Tool einseitige oder zweiseitige Z-Transformationen?

Der Rechner bestimmt die einseitige Z-Transformation mit dem Summationsbereich von n = 0 bis unendlich.

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Z-Transformationsrechner (diskrete Systeme)

Liefert per Tabelle die einseitige Z-Transformierte X(z) = Σₙ₌₀^∞ x[n]·z^(−n): 11 Standardpaare (δ[n], u[n], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich |z| > R, Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle z (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3.

Ausführung

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2 Beispiele

Z{0.5ⁿ} = z/(z − 0.5), Konvergenz |z| > 0.5, X(2) = 4/3

Das geometrische Paar: Σ (0.5/z)^n ergibt z/(z − 0.5), konvergent nur außerhalb des Kreises |z| = 0.5, auf dem der Pol liegt. An der Stelle z = 2 ergibt sich 2/1.5 = 1.3333.

Z-transform (table lookup) x[n] = 0.5^n X(z) = z/(z - 0.5) Region of convergence: |z| > |a| (here |z| > 0.5) Derivation: Geometric series with ratio a/z: Σ (a/z)^n = z/(z - a) — the workhorse pair of discrete analysis. Evaluation: X(2) = 1.3333

Z{0.8ⁿ·cos(0.5n)} — gedämpfter Kosinus mit Polen bei 0.8·e^(±j0.5)

Die exponentielle Gewichtung skaliert die Pole: für a = 0.8 und ω₀ = 0.5 lautet die Transformierte z(z − 0.7021)/(z² − 1.4041z + 0.64) mit Konvergenz |z| > 0.8. An der Stelle z = 2 ergibt sich 1.4172.

Z-transform (table lookup) x[n] = 0.8^n · cos(0.5n) X(z) = z(z - 0.702066)/(z^2 - 1.40413 z + 0.64) Region of convergence: |z| > |a| (here |z| > 0.8) Derivation: Exponential weighting a^n rescales the poles: replace z by z/a in the cos pair. Evaluation: X(2) = 1.4172

Eingaben

Fülle die erforderlichen Felder aus und starte das Tool.

5 Optionen

EinstellungenFormate, Bereiche, Zahlen und Modi anpassen.5

x[n]-FormselectPflichtParameter a (Basis)numberOptionales FeldGeometric base in a^n forms (pole at z = a).Parameter ω₀ (Frequenz, rad/Sample)numberOptionales FeldAngular frequency in sin/cos forms (must be nonzero).X(z) bei z auswerten (optional)numberOptionales FeldNumeric evaluation point; must satisfy the region of convergence.DezimalstellennumberOptionales Feld

Ergebnis

Bereit zum Start

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