Löser für lineare DGL 2. Ordnung (charakteristische Gleichung)
Löst a·y'' + b·y' + c·y = f(x): Wurzeln der charakteristischen Gleichung ar² + br + c = 0, homogene Lösung nach Diskriminante klassifiziert (zwei verschiedene reelle / doppelte / konjugiert komplexe Wurzeln) und partikuläre Lösung per Ansatz unbestimmter Koeffizienten mit Resonanz (ist k Wurzel, wird der Ansatz mit x^m multipliziert). Konstanten, Polynome, A·e^(kx) und A·sin(kx)+B·cos(kx) werden unterstützt; mit y(x₀) und y'(x₀) bestimmen C1, C2 ein 2×2-System. Klassiker: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.
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Wichtige Fakten
Kategorie
Math & Numbers
Eingabetypen
number, select, text
Ausgabetyp
text
Sample-Abdeckung
4
API bereit
Ja
Überblick
Dieser Online-Rechner löst lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form a·y'' + b·y' + c·y = f(x). Das Tool ermittelt die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, klassifiziert die homogene Lösung nach der Diskriminante und berechnet die partikuläre Lösung über den Ansatz unbestimmter Koeffizienten inklusive Resonanzfall. Bei Angabe von Anfangswerten y(x₀) und y'(x₀) wird die exakte partikuläre Lösung des Anfangswertproblems berechnet.
Wann verwenden
Wenn Sie homogene oder inhomogene lineare DGLs 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten analytisch lösen müssen.
Wenn Sie den Dämpfungsfall (Schwingfall, Kriechfall, aperiodischer Grenzfall) eines physikalischen Oszillators analysieren möchten.
Wenn Sie ein Anfangswertproblem mit gegebenen Startwerten y(x₀) und y'(x₀) auflösen müssen, um die Integrationskonstanten C1 und C2 zu bestimmen.
So funktioniert es
1Geben Sie die Koeffizienten a (≠ 0), b und c für den Differentialoperator ein.
2Wählen Sie die Störfunktion f(x) (homogen, Konstante, Polynom, Exponentialfunktion oder Sinus/Kosinus) und tragen Sie die zugehörigen Parameter ein.
3Geben Sie optional die Anfangsbedingungen x₀, y(x₀) und y'(x₀) ein, um die Integrationskonstanten C1 und C2 direkt zu ermitteln.
4Das Tool berechnet die Diskriminante, die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, die homogene sowie partikuläre Lösung und gibt die Gesamtlösung schrittweise aus.
Anwendungsfälle
Berechnung von Schwingungsdifferentialgleichungen für mechanische Feder-Masse-Dämpfer-Systeme oder RLC-Schwingkreise in der Elektrotechnik.
Überprüfung von Übungsaufgaben und analytischen Lösungsschritten in Höherer Mathematik und Ingenieurmathematik.
Exakte Bestimmung des Einschwingverhaltens und der Resonanzkatastrophe bei harmonischer Anregung.
Beispiele
1. Homogenes Anfangswertproblem mit zwei reellen Wurzeln
Mathematikstudent
Hintergrund
Im Rahmen einer Analysis-Übung soll das Verhalten einer homogenen DGL 2. Ordnung mit vorgegebenen Anfangswerten exakt berechnet werden.
Aufgabe
Lösen von y'' − 3y' + 2y = 0 mit den Bedingungen y(0) = 1 und y'(0) = 0.
Verwendung
Setze a = 1, b = -3, c = 2, wähle Störglied 'Keine (homogen)' und trage x₀ = 0, y₀ = 1 sowie y'₀ = 0 ein.
Ergebnis
Das Tool ermittelt die Wurzeln r₁ = 2, r₂ = 1 und berechnet C1 = -1, C2 = 2 mit der Lösung y = -e^(2x) + 2e^x.
2. Ungedämpfter Oszillator unter Resonanz
Physiklaborant
Hintergrund
Ein harmonischer Oszillator wird mit seiner Eigenfrequenz angeregt, wodurch Resonanz auftritt.
Aufgabe
Bestimmung der partikulären und allgemeinen Lösung für y'' + y = sin(x).
Verwendung
Setze a = 1, b = 0, c = 1, wähle Störglied 'Sinus/Kosinus' und trage A = 1, B = 0, k = 1 ein.
Ergebnis
Erkennt komplexe Wurzeln r = ±i und liefert über den Resonanzansatz die partikuläre Lösung yp = -0.5·x·cos(x) sowie y = C1·cos(x) + C2·sin(x) - 0.5·x·cos(x).
FAQ
Welche Störglieder f(x) werden unterstützt?
Unterstützt werden homogene Gleichungen f(x)=0, konstante Werte, Polynome bis zum Grad 5, Exponentialfunktionen A·e^(kx) sowie trigonometrische Terme A·sin(kx) + B·cos(kx).
Wie wird Resonanz bei der partikulären Lösung berücksichtigt?
Stimmt ein Koeffizient der Störfunktion mit einer Wurzel der charakteristischen Gleichung überein, multipliziert das Tool den Ansatz unbestimmter Koeffizienten automatisch mit x bzw. x².
Welche Fälle der homogenen Lösung werden unterschieden?
Je nach Vorzeichen der Diskriminante Δ = b² − 4ac: zwei verschiedene reelle Wurzeln (Δ > 0), eine doppelte reelle Wurzel (Δ = 0) oder konjugiert komplexe Wurzeln (Δ < 0).
Müssen immer beide Anfangsbedingungen angegeben werden?
Ja, zur Bestimmung der beiden Konstanten C1 und C2 müssen sowohl y(x₀) als auch y'(x₀) für denselben Punkt x₀ eingegeben werden. Ohne Anfangswerte verbleiben C1 und C2 in der allgemeinen Lösung.