Löser für lineare DGL 2. Ordnung (charakteristische Gleichung)

Löser für lineare DGL 2. Ordnung (charakteristische Gleichung) | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Math & Numbers
Eingabetypen: number, select, text
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Dieser Online-Rechner löst lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form a·y'' + b·y' + c·y = f(x). Das Tool ermittelt die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, klassifiziert die homogene Lösung nach der Diskriminante und berechnet die partikuläre Lösung über den Ansatz unbestimmter Koeffizienten inklusive Resonanzfall. Bei Angabe von Anfangswerten y(x₀) und y'(x₀) wird die exakte partikuläre Lösung des Anfangswertproblems berechnet.

Wann verwenden

Wenn Sie homogene oder inhomogene lineare DGLs 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten analytisch lösen müssen.
Wenn Sie den Dämpfungsfall (Schwingfall, Kriechfall, aperiodischer Grenzfall) eines physikalischen Oszillators analysieren möchten.
Wenn Sie ein Anfangswertproblem mit gegebenen Startwerten y(x₀) und y'(x₀) auflösen müssen, um die Integrationskonstanten C1 und C2 zu bestimmen.

So funktioniert es

1Geben Sie die Koeffizienten a (≠ 0), b und c für den Differentialoperator ein.
2Wählen Sie die Störfunktion f(x) (homogen, Konstante, Polynom, Exponentialfunktion oder Sinus/Kosinus) und tragen Sie die zugehörigen Parameter ein.
3Geben Sie optional die Anfangsbedingungen x₀, y(x₀) und y'(x₀) ein, um die Integrationskonstanten C1 und C2 direkt zu ermitteln.
4Das Tool berechnet die Diskriminante, die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, die homogene sowie partikuläre Lösung und gibt die Gesamtlösung schrittweise aus.

Anwendungsfälle

Berechnung von Schwingungsdifferentialgleichungen für mechanische Feder-Masse-Dämpfer-Systeme oder RLC-Schwingkreise in der Elektrotechnik.
Überprüfung von Übungsaufgaben und analytischen Lösungsschritten in Höherer Mathematik und Ingenieurmathematik.
Exakte Bestimmung des Einschwingverhaltens und der Resonanzkatastrophe bei harmonischer Anregung.

Beispiele

1. Homogenes Anfangswertproblem mit zwei reellen Wurzeln

Mathematikstudent

Hintergrund

Im Rahmen einer Analysis-Übung soll das Verhalten einer homogenen DGL 2. Ordnung mit vorgegebenen Anfangswerten exakt berechnet werden.

Aufgabe

Lösen von y'' − 3y' + 2y = 0 mit den Bedingungen y(0) = 1 und y'(0) = 0.

Verwendung

Setze a = 1, b = -3, c = 2, wähle Störglied 'Keine (homogen)' und trage x₀ = 0, y₀ = 1 sowie y'₀ = 0 ein.

Ergebnis

Das Tool ermittelt die Wurzeln r₁ = 2, r₂ = 1 und berechnet C1 = -1, C2 = 2 mit der Lösung y = -e^(2x) + 2e^x.

2. Ungedämpfter Oszillator unter Resonanz

Physiklaborant

Hintergrund

Ein harmonischer Oszillator wird mit seiner Eigenfrequenz angeregt, wodurch Resonanz auftritt.

Aufgabe

Bestimmung der partikulären und allgemeinen Lösung für y'' + y = sin(x).

Verwendung

Setze a = 1, b = 0, c = 1, wähle Störglied 'Sinus/Kosinus' und trage A = 1, B = 0, k = 1 ein.

Ergebnis

Erkennt komplexe Wurzeln r = ±i und liefert über den Resonanzansatz die partikuläre Lösung yp = -0.5·x·cos(x) sowie y = C1·cos(x) + C2·sin(x) - 0.5·x·cos(x).

FAQ

Welche Störglieder f(x) werden unterstützt?

Unterstützt werden homogene Gleichungen f(x)=0, konstante Werte, Polynome bis zum Grad 5, Exponentialfunktionen A·e^(kx) sowie trigonometrische Terme A·sin(kx) + B·cos(kx).

Wie wird Resonanz bei der partikulären Lösung berücksichtigt?

Stimmt ein Koeffizient der Störfunktion mit einer Wurzel der charakteristischen Gleichung überein, multipliziert das Tool den Ansatz unbestimmter Koeffizienten automatisch mit x bzw. x².

Welche Fälle der homogenen Lösung werden unterschieden?

Je nach Vorzeichen der Diskriminante Δ = b² − 4ac: zwei verschiedene reelle Wurzeln (Δ > 0), eine doppelte reelle Wurzel (Δ = 0) oder konjugiert komplexe Wurzeln (Δ < 0).

Müssen immer beide Anfangsbedingungen angegeben werden?

Ja, zur Bestimmung der beiden Konstanten C1 und C2 müssen sowohl y(x₀) als auch y'(x₀) für denselben Punkt x₀ eingegeben werden. Ohne Anfangswerte verbleiben C1 und C2 in der allgemeinen Lösung.

Darf der Koeffizient a gleich null sein?

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1. Homogenes Anfangswertproblem mit zwei reellen Wurzeln

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