Solver de EDO lineal de segundo orden (ecuación característica)

Solver de EDO lineal de segundo orden (ecuación característica) | Herramienta online gratis | Elysia Tools

Guía de uso de la herramienta

Conoce cuándo usar esta herramienta, qué admite y cómo la aplican los usuarios.

Datos clave

Categoría: Math & Numbers
Tipos de entrada: number, select, text
Tipo de salida: text
Cobertura de ejemplos: 4
API disponible: Sí

Resumen

Este solucionador de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) lineales de segundo orden con coeficientes constantes resuelve ecuaciones de la forma a·y'' + b·y' + c·y = f(x). La herramienta calcula las raíces de la ecuación característica auxiliar, clasifica la solución homogénea según el discriminante, determina la solución particular mediante el método de coeficientes indeterminados con ajuste por resonancia y halla las constantes C1 y C2 a partir de condiciones iniciales.

Cuándo usarlo

Cuando necesites resolver problemas de valor inicial (PVI) de segundo orden con condiciones dadas para y(x₀) e y'(x₀).
Al analizar sistemas dinámicos, circuitos RLC o modelos de osciladores armónicos amortiguados y forzados.
Para verificar soluciones analíticas paso a paso en cursos de cálculo avanzado y ecuaciones diferenciales ordinarias.

Cómo funciona

1Introduce los coeficientes numéricos a, b y c de la ecuación homogénea asociada a·y'' + b·y' + c·y = 0.
2Selecciona el tipo de término no homogéneo f(x) (constante, polinomio, exponencial o sinusoidal) e ingresa sus parámetros correspondientes.
3Opcionalmente, especifica el punto inicial x₀ junto con los valores de y(x₀) e y'(x₀) para determinar las constantes arbitrarias C1 y C2.
4El algoritmo evalúa el discriminante de la ecuación característica, aplica el método de coeficientes indeterminados con corrección por resonancia si la función excitadora coincide con una raíz característica, y genera la solución general o particular.

Casos de uso

Modelado y cálculo de la respuesta transitoria y estacionaria de osciladores mecánicos amortiguados con excitación periódica.
Resolución de circuitos eléctricos RLC serie o paralelo sometidos a fuentes de tensión continua, exponencial o alterna sinusoidal.
Comprobación de ejercicios académicos de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados y resonancia pura.

Ejemplos

1. Problema de valor inicial homogéneo

Estudiante de ingeniería

Contexto

Debe hallar la respuesta libre de un sistema dinámico regido por la ecuación y'' − 3y' + 2y = 0 con condiciones iniciales en x = 0.

Problema

Determinar los coeficientes C1 y C2 para satisfacer y(0) = 1 e y'(0) = 0.

Cómo usarlo

Configura a = 1, b = -3, c = 2, selecciona f(x) como 'Ninguno (homogénea)' y define x0 = 0, y0 = 1, y0prime = 0.

a=1, b=-3, c=2, forcing=none, x0=0, y0=1, y0prime=0

Resultado

Obtiene la solución característica con raíces r₁ = 2 y r₂ = 1, resultando en la solución particular y = −e^(2x) + 2e^x.

2. Oscilador no amortiguado con resonancia sinusoidal

Profesor de física

Contexto

Prepara una demostración sobre el fenómeno de resonancia armónica en una ecuación diferencial no homogénea y'' + y = sen(x).

Problema

Calcular la solución particular cuando la frecuencia de forzamiento coincide con la frecuencia natural del oscilador.

Cómo usarlo

Ingresa a = 1, b = 0, c = 1, elige el forzamiento 'Seno/coseno' con sinA = 1, sinB = 0 y sinK = 1.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se clasifican las soluciones de la parte homogénea?

Se calcula el discriminante Δ = b² − 4ac: si Δ > 0 genera dos raíces reales distintas, si Δ = 0 produce una raíz real doble multiplicada por x, y si Δ < 0 genera raíces complejas conjugadas expresadas con funciones trigonométricas sen(βx) y cos(βx).

¿Cómo gestiona la herramienta el fenómeno de resonancia?

Si el término forzador f(x) comparte frecuencia o tasa con una raíz de la ecuación característica, la función de prueba se multiplica automáticamente por x o x² para obtener la solución particular correcta.

¿Qué tipos de funciones excitadoras f(x) están disponibles?

Permite resolver ecuaciones homogéneas f(x) = 0, términos constantes F, polinomios de grado hasta 5, exponenciales A·e^(kx) y combinaciones sinusoidales A·sen(kx) + B·cos(kx).

¿Es obligatorio ingresar condiciones iniciales?

No. Si se omiten y₀ e y'₀, el solucionador entrega la solución general parametrizada en función de las constantes arbitrarias C1 y C2.

¿Qué restricción tiene el coeficiente a?

a=1, b=0, c=1, forcing=sinusoid, sinA=1, sinB=0, sinK=1

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Casos de uso

Ejemplos

1. Problema de valor inicial homogéneo

2. Oscilador no amortiguado con resonancia sinusoidal

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