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Solver de EDO lineal de segundo orden (ecuación característica)
Resuelve a·y'' + b·y' + c·y = f(x): resuelve la ecuación característica ar² + br + c = 0, clasifica la solución homogénea por el discriminante (raíces reales distintas / doble / complejas conjugadas) y obtiene la solución particular por coeficientes indeterminados con resonancia (si k es raíz, la prueba se multiplica por x^m). Admite constantes, polinomios, A·e^(kx) y A·sin(kx)+B·cos(kx); con y(x₀) e y'(x₀) un sistema 2×2 fija C1 y C2. Ejemplo clásico: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.
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Guía de uso de la herramienta
Conoce cuándo usar esta herramienta, qué admite y cómo la aplican los usuarios.
Datos clave
Categoría
Math & Numbers
Tipos de entrada
number, select, text
Tipo de salida
text
Cobertura de ejemplos
4
API disponible
Sí
Resumen
Este solucionador de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) lineales de segundo orden con coeficientes constantes resuelve ecuaciones de la forma a·y'' + b·y' + c·y = f(x). La herramienta calcula las raíces de la ecuación característica auxiliar, clasifica la solución homogénea según el discriminante, determina la solución particular mediante el método de coeficientes indeterminados con ajuste por resonancia y halla las constantes C1 y C2 a partir de condiciones iniciales.
Cuándo usarlo
Cuando necesites resolver problemas de valor inicial (PVI) de segundo orden con condiciones dadas para y(x₀) e y'(x₀).
Al analizar sistemas dinámicos, circuitos RLC o modelos de osciladores armónicos amortiguados y forzados.
Para verificar soluciones analíticas paso a paso en cursos de cálculo avanzado y ecuaciones diferenciales ordinarias.
Cómo funciona
1Introduce los coeficientes numéricos a, b y c de la ecuación homogénea asociada a·y'' + b·y' + c·y = 0.
2Selecciona el tipo de término no homogéneo f(x) (constante, polinomio, exponencial o sinusoidal) e ingresa sus parámetros correspondientes.
3Opcionalmente, especifica el punto inicial x₀ junto con los valores de y(x₀) e y'(x₀) para determinar las constantes arbitrarias C1 y C2.
4El algoritmo evalúa el discriminante de la ecuación característica, aplica el método de coeficientes indeterminados con corrección por resonancia si la función excitadora coincide con una raíz característica, y genera la solución general o particular.
Casos de uso
Modelado y cálculo de la respuesta transitoria y estacionaria de osciladores mecánicos amortiguados con excitación periódica.
Resolución de circuitos eléctricos RLC serie o paralelo sometidos a fuentes de tensión continua, exponencial o alterna sinusoidal.
Comprobación de ejercicios académicos de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados y resonancia pura.
Ejemplos
1. Problema de valor inicial homogéneo
Estudiante de ingeniería
Contexto
Debe hallar la respuesta libre de un sistema dinámico regido por la ecuación y'' − 3y' + 2y = 0 con condiciones iniciales en x = 0.
Problema
Determinar los coeficientes C1 y C2 para satisfacer y(0) = 1 e y'(0) = 0.
Cómo usarlo
Configura a = 1, b = -3, c = 2, selecciona f(x) como 'Ninguno (homogénea)' y define x0 = 0, y0 = 1, y0prime = 0.
Obtiene la solución característica con raíces r₁ = 2 y r₂ = 1, resultando en la solución particular y = −e^(2x) + 2e^x.
2. Oscilador no amortiguado con resonancia sinusoidal
Profesor de física
Contexto
Prepara una demostración sobre el fenómeno de resonancia armónica en una ecuación diferencial no homogénea y'' + y = sen(x).
Problema
Calcular la solución particular cuando la frecuencia de forzamiento coincide con la frecuencia natural del oscilador.
Cómo usarlo
Ingresa a = 1, b = 0, c = 1, elige el forzamiento 'Seno/coseno' con sinA = 1, sinB = 0 y sinK = 1.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se clasifican las soluciones de la parte homogénea?
Se calcula el discriminante Δ = b² − 4ac: si Δ > 0 genera dos raíces reales distintas, si Δ = 0 produce una raíz real doble multiplicada por x, y si Δ < 0 genera raíces complejas conjugadas expresadas con funciones trigonométricas sen(βx) y cos(βx).
¿Cómo gestiona la herramienta el fenómeno de resonancia?
Si el término forzador f(x) comparte frecuencia o tasa con una raíz de la ecuación característica, la función de prueba se multiplica automáticamente por x o x² para obtener la solución particular correcta.
¿Qué tipos de funciones excitadoras f(x) están disponibles?
Permite resolver ecuaciones homogéneas f(x) = 0, términos constantes F, polinomios de grado hasta 5, exponenciales A·e^(kx) y combinaciones sinusoidales A·sen(kx) + B·cos(kx).
¿Es obligatorio ingresar condiciones iniciales?
No. Si se omiten y₀ e y'₀, el solucionador entrega la solución general parametrizada en función de las constantes arbitrarias C1 y C2.
Identifica las raíces complejas r = ±i y aplica la corrección por resonancia multiplicando la prueba por x, entregando yp = −0.5·x·cos(x) y la solución general y = C1·cos(x) + C2·sen(x) − 0.5·x·cos(x).
El coeficiente principal a no puede ser igual a cero, ya que la ecuación debe ser estrictamente de segundo orden.