Quels types de racines caractéristiques l'outil prend-il en charge ?

Le solveur traite les trois cas du discriminant : deux racines réelles distinctes (Δ > 0), une racine double réelle (Δ = 0), et deux racines complexes conjuguées (Δ < 0).

Comment la résonance est-elle gérée pour la solution particulière ?

Lorsque le taux de l'exponentielle ou la fréquence de la sinusoïde coïncide avec une racine de l'équation caractéristique, l'essai des coefficients indéterminés est automatiquement multiplié par x ou x².

Quels formats de second membre f(x) sont acceptés ?

L'outil accepte les seconds membres nuls (homogène), constants, polynomiaux (jusqu'au degré 5), exponentiels de type A·e^(kx), et sinusoïdaux de type A·sin(kx) + B·cos(kx).

Comment renseigner les coefficients d'un polynôme pour f(x) ?

Indiquez les coefficients séparés par des virgules en commençant par le terme constant, par exemple '2,-3,0.5' pour représenter 2 − 3x + 0.5x².

Que se passe-t-il si les conditions initiales ne sont pas renseignées ?

Le solveur affiche la forme générale de la solution contenant les constantes libres C1 et C2 sans chercher à les évaluer.

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Solveur d'EDO linéaire du second ordre (équation caractéristique)

Résout a·y'' + b·y' + c·y = f(x) : racines de l'équation caractéristique ar² + br + c = 0, solution homogène classée selon le discriminant (racines réelles distinctes / double / complexes conjuguées) et solution particulière par coefficients indéterminés avec résonance (si k est racine, l'essai est multiplié par x^m). Constantes, polynômes, A·e^(kx) et A·sin(kx)+B·cos(kx) acceptés ; avec y(x₀) et y'(x₀), un système 2×2 fixe C1 et C2. Exemple classique : y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.

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2 exemples

y'' − 3y' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 → y = −e^(2x) + 2e^x

L'équation caractéristique r² − 3r + 2 = 0 a Δ = 1 > 0 et des racines r₁ = 2, r₂ = 1, d'où yh = C1·e^(2x) + C2·e^x. Les conditions initiales donnent C1 = −1 et C2 = 2.

Equation: y'' - 3 y' + 2 y = 0 Characteristic equation: r^2 - 3 r + 2 = 0 Discriminant: Δ = 1 > 0 → two distinct real roots Roots: r1 = 2, r2 = 1 Homogeneous solution: yh = C1 e^(2x) + C2 e^x General solution: y = C1 e^(2x) + C2 e^x Initial conditions y(0) = 1, y'(0) = 0: C1 = -1, C2 = 2 Solution: y = -e^(2x) + 2 e^x

Résonance : y'' + y = sin(x) → yp = −0.5·x·cos(x)

Avec a = 1, b = 0, c = 1, les racines caractéristiques sont ±i (cas complexe). La fréquence k = 1 coïncide avec la racine imaginaire : l'essai est multiplié par x et les coefficients indéterminés donnent yp = −x·cos(x)/2, la solution particulière de résonance classique.

Equation: y'' + y = sin(x) Characteristic equation: r^2 + 1 = 0 Discriminant: Δ = -4 < 0 → complex conjugate roots Roots: r = ±i (α = 0, β = 1) Homogeneous solution: yh = C1 cos(x) + C2 sin(x) Particular solution (undetermined coefficients, resonance ×x): yp = -0.5 x cos(x) General solution: y = C1 cos(x) + C2 sin(x) - 0.5 x cos(x)

Entrées

Les options sont groupées pour rendre les longs formulaires plus lisibles.

14 réglages

ContenuCollez ou saisissez les valeurs principales.1

Coefficients du polynôme (constante d'abord)textOptionnelComma-separated coefficients, constant term first (degree ≤ 5). Used when forcing = Polynomial.

RéglagesAjustez formats, plages, nombres et modes.13

Coefficient a (y'')numberRequisCoefficient of y'' (must be nonzero).Coefficient b (y')numberRequisCoefficient of y'.Coefficient c (y)numberRequisCoefficient of y.Second membre f(x)selectRequisF (terme constant)numberOptionnelUsed when forcing = Constant.A (amplitude)numberOptionnelUsed when forcing = Exponential.k (taux)numberOptionnelUsed when forcing = Exponential.A (amplitude du sinus)numberOptionnelUsed when forcing = Sine/cosine.B (amplitude du cosinus)numberOptionnelUsed when forcing = Sine/cosine.k (fréquence angulaire)numberOptionnelUsed when forcing = Sine/cosine.x₀ (x initial)numberOptionnelInitial point (used with y₀ and y'₀).y₀ = y(x₀)numberOptionnelProvide together with y'₀ to pin down C1, C2.y'₀ = y'(x₀)numberOptionnelInitial derivative (both or neither of y₀, y'₀).

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1. Problème de Cauchy homogène sans amortissement critique

2. Oscillateur non amorti en résonance pure

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