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Solucionador de EDO linear de segunda ordem (equação característica)
Resolve a·y'' + b·y' + c·y = f(x): raízes da equação característica ar² + br + c = 0, solução homogênea classificada pelo discriminante (raízes reais distintas / dupla / complexas conjugadas) e solução particular por coeficientes a determinar com ressonância (se k é raiz, o termo de prova é multiplicado por x^m). Aceita constantes, polinômios, A·e^(kx) e A·sin(kx)+B·cos(kx); com y(x₀) e y'(x₀), um sistema 2×2 determina C1 e C2. Clássico: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.
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Guia de uso da ferramenta
Veja quando usar esta ferramenta, o que ela suporta e como os usuários a aplicam.
Fatos principais
Categoria
Math & Numbers
Tipos de entrada
number, select, text
Tipo de saída
text
Cobertura de exemplos
4
API pronta
Sim
Visão geral
O Solucionador de EDO Linear de Segunda Ordem calcula a solução geral e particular de equações diferenciais ordinárias da forma a·y'' + b·y' + c·y = f(x). A ferramenta determina as raízes da equação característica, classifica a solução homogênea conforme o discriminante, aplica o método dos coeficientes a determinar com ajuste de ressonância e calcula as constantes C1 e C2 a partir de problemas de valor inicial (PVI).
Quando usar
Ao resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes em disciplinas de cálculo, física ou engenharia.
Quando for necessário modelar o comportamento dinâmico de osciladores harmônicos amortecidos ou forçados com fenômenos de ressonância.
Para determinar a trajetória exata de um sistema dinâmico a partir das condições iniciais y(x₀) e y'(x₀).
Como funciona
1Insira os coeficientes a, b e c da equação diferencial e escolha o tipo de termo forçador f(x) (nulo, constante, polinômio, exponencial ou senoidal).
2O algoritmo resolve a equação característica ar² + br + c = 0 e classifica a solução homogênea yh entre raízes reais distintas, raiz dupla ou raízes complexas conjugadas.
3Se houver termo forçador f(x), o método dos coeficientes a determinar calcula a solução particular yp, aplicando multiplicação por x^m caso ocorra ressonância com as raízes da homogênea.
4Ao preencher as condições iniciais x₀, y₀ e y'₀, um sistema linear 2×2 é resolvido para determinar os valores numéricos exatos de C1 e C2.
Casos de uso
Análise de circuitos elétricos RLC série e paralelo excitados por fontes contínuas ou alternadas.
Simulação mecânica de sistemas massa-mola-amortecedor sob diferentes regimes de amortecimento e forças externas.
Validação analítica de problemas de valor inicial (PVI) e listas de exercícios acadêmicos de equações diferenciais.
Exemplos
1. PVI com raízes reais distintas
Estudante de Engenharia
Contexto
Resolvendo uma lista de exercícios sobre equações diferenciais ordinárias homogêneas com valores iniciais fixos.
Problema
Encontrar a curva de resposta para a equação y'' − 3y' + 2y = 0 sujeita a y(0) = 1 e y'(0) = 0.
Como usar
Defina a = 1, b = -3, c = 2, mantenha o termo f(x) como 'Nenhum (homogênea)' e preencha x0 = 0, y0 = 1 e y0prime = 0.
Resultado
O solucionador identifica as raízes características r1 = 2 e r2 = 1, monta a homogênea yh = C1·e^(2x) + C2·e^x e calcula C1 = -1 e C2 = 2, resultando em y = -e^(2x) + 2·e^x.
2. Oscilador forçado com ressonância pura
Pesquisador de Física
Contexto
Analisando a resposta de um oscilador harmônico não amortecido quando excitado na sua frequência natural.
Problema
Obter a solução particular e geral de y'' + y = sin(x) onde a frequência de excitação coincide com as raízes imaginárias.
Como usar
Configure a = 1, b = 0, c = 1, selecione o termo f(x) como 'Seno/cosseno', ajuste sinA = 1, sinB = 0 e sinK = 1.
Resultado
Perguntas frequentes
Como o solucionador lida com raízes complexas na equação característica?
Quando o discriminante é negativo (Δ < 0), as raízes assumem a forma α ± iβ, gerando a solução homogênea yh = e^(αx)·(C1·cos(βx) + C2·sin(βx)).
O que acontece se houver ressonância entre f(x) e a solução homogênea?
O termo de teste da solução particular é automaticamente multiplicado por x (ou x² em caso de multiplicidade) para manter a independência linear em relação a yh.
Quais tipos de termo forçador f(x) são suportados?
A ferramenta aceita equações homogêneas f(x)=0, constantes F, polinômios de grau até 5, exponenciais A·e^(kx) e funções senoidais A·sin(kx) + B·cos(kx).
É obrigatório fornecer as condições iniciais y₀ e y'₀?
Não. Se as condições iniciais não forem preenchidas, a ferramenta retorna a solução geral contendo as constantes arbitrárias C1 e C2.
O coeficiente 'a' pode ser zero?
Não. O coeficiente 'a' acompanha a segunda derivada y'' e deve ser diferente de zero para que a equação seja de segunda ordem.
A ferramenta identifica raízes r = ±i, detecta a ressonância com k = 1, aplica a correção ×x no termo de teste e gera a solução geral y = C1·cos(x) + C2·sin(x) − 0.5·x·cos(x).