Решатель линейного ОДУ 2-го порядка (характеристическое уравнение) | Бесплатный онлайн-инструмент | Elysia Tools
Elysia Tools
Навигация
Math & Numbers
Решатель линейного ОДУ 2-го порядка (характеристическое уравнение)
Решает a·y'' + b·y' + c·y = f(x): находит корни характеристического уравнения ar² + br + c = 0, классифицирует однородное решение по дискриминанту (различные вещественные / кратный / комплексно-сопряжённые корни) и строит частное решение методом неопределённых коэффициентов с резонансом (если k — корень, пробная функция умножается на x^m). Поддерживаются постоянные, многочлены, A·e^(kx) и A·sin(kx)+B·cos(kx); при y(x₀) и y'(x₀) константы C1, C2 находятся из системы 2×2. Классика: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.
Запуск
Запустить этот инструмент
Заполните форму, запустите инструмент и посмотрите результат на этой же странице.
Примеры
Примеры для этого инструмента
Связано
Продолжить с похожими инструментами и темами
Результат
Готово к запуску
После запуска здесь появятся файлы, текст, структурированные данные или потоковый вывод.
Руководство по использованию инструмента
Узнайте, когда использовать этот инструмент, что он поддерживает и как его применяют пользователи.
Ключевые факты
Категория
Math & Numbers
Типы ввода
number, select, text
Тип вывода
text
Покрытие примерами
4
API доступен
Да
Обзор
Онлайн-калькулятор решает линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида a·y'' + b·y' + c·y = f(x). Инструмент вычисляет корни характеристического уравнения, формирует общее решение однородного уравнения, находит частное решение методом неопределённых коэффициентов с учётом резонанса, а также решает задачу Коши при заданных начальных условиях.
Когда использовать
Для аналитического решения однородных и неоднородных линейных ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
При исследовании резонансных явлений, когда правая часть совпадает с собственными частотами или корнями характеристического уравнения.
Для нахождения констант C1 и C2 в задаче Коши при известных начальных значениях функции y(x₀) и её производной y'(x₀).
Как это работает
1Составляет характеристическое уравнение a·r² + b·r + c = 0 и определяет корни по дискриминанту: два различных вещественных, один кратный или пару комплексно-сопряжённых.
2Формирует общее решение однородного ОДУ (yh) на основе полученных характеристических корней.
3Строит частное решение (yp) методом неопределённых коэффициентов для констант, многочленов, экспонент или гармонических функций с домножением на x^m в случае резонанса.
4При указании начальных условий x₀, y₀ и y'₀ составляет и решает линейную систему 2×2 для определения значений констант C1 и C2.
Сценарии использования
Студенты и преподаватели технических вузов для быстрой проверки аналитических решений задач по матанализу и дифференциальным уравнениям.
Инженеры и физики, рассчитывающие механические колебания пружинного маятника и электрические переходные процессы в RLC-цепях.
Разработчики и исследователи для верификации моделей затухающих и вынужденных колебаний с внешним гармоническим воздействием.
Примеры
1. Задача Коши для однородного уравнения
Студент технического вуза
Контекст
Студент выполняет типовой расчёт по курсу дифференциальных уравнений и хочет проверить нахождение произвольных постоянных.
Проблема
Решить ОДУ y'' - 3y' + 2y = 0 при начальных условиях y(0) = 1, y'(0) = 0.
Как использовать
Задайте коэффициенты a = 1, b = -3, c = 2, выберите правую часть 'Нет (однородное)' и укажите x₀ = 0, y₀ = 1, y'₀ = 0.
Результат
Калькулятор находит корни r₁ = 2, r₂ = 1, составляет yh = C1·e^(2x) + C2·e^x и определяет константы C1 = -1, C2 = 2, выводя y = -e^(2x) + 2e^x.
2. Гармонический осциллятор в режиме резонанса
Преподаватель физики
Контекст
Преподаватель готовит демонстрационный пример вынужденных колебаний осциллятора без затухания.
Проблема
Найти частное и общее решение уравнения y'' + y = sin(x) с совпадением частоты воздействия и собственной частоты.
Как использовать
Укажите a = 1, b = 0, c = 1, выберите правую часть 'Синус/косинус' с параметрами A = 1, B = 0, k = 1.
Результат
FAQ
Какие типы правых частей f(x) поддерживает решатель?
Поддерживаются нулевая правая часть (однородное ОДУ), константы, алгебраические многочлены до степени 5, экспоненты A·e^(kx) и тригонометрические функции A·sin(kx) + B·cos(kx).
Как инструмент обрабатывает резонанс?
Если показатель экспоненты k или частота синуса/косинуса совпадает с корнем характеристического уравнения, калькулятор автоматически умножает пробную функцию на x или x².
Обязательно ли задавать начальные условия y₀ и y'₀?
Нет, начальные условия опциональны. Без них калькулятор выведет общее аналитическое решение с произвольными постоянными C1 и C2.
Что происходит при отрицательном дискриминанте характеристического уравнения?
Программа находит комплексно-сопряжённые корни α ± iβ и записывает однородное решение через затухающие колебания e^(αx)·(C1·cos(βx) + C2·sin(βx)).
В каком формате вводятся коэффициенты многочлена в правой части?