Welche Standardfunktionen deckt der Rechner ab?

Er unterstützt 14 Basisfunktionen: 1 (Sprungfunktion), t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin(kt), cos(kt), e^(at)sin(kt), e^(at)cos(kt), sinh(kt), cosh(kt), t·sin(kt), t·cos(kt) und den Dirac-Impuls δ(t).

Was passiert, wenn der Auswertungspunkt s₀ außerhalb des Konvergenzbereichs liegt?

Der Rechner prüft die Konvergenzbedingung (z. B. s > a) und weist darauf hin, wenn der gewählte Punkt im Divergenzbereich des uneigentlichen Integrals liegt.

Welche Werte können für den Exponenten n eingegeben werden?

Für Potenzfunktionen tⁿ und tⁿe^(at) werden ganzzahlige Werte im Bereich von 1 bis 10 verarbeitet, wobei die Fakultät n! berechnet wird.

Wird der Verschiebungssatz bzw. Dämpfungssatz berücksichtigt?

Ja, exponentiell gedämpfte Funktionen wie e^(at)·sin(kt) oder tⁿ·e^(at) sind direkt als vorkonfigurierte Transformationspaare hinterlegt.

Wie wird der Dirac-Impuls δ(t) behandelt?

Für den Dirac-Impuls liefert der Rechner die exakte Transformierte F(s) = 1, welche für die gesamte komplexe Ebene konvergiert.

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Laplace-Transformationsrechner (Paar-Tabelle)

Liefert per Tabelle die Laplace-Transformierte F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 Standardpaare (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) mit exponentieller Verschiebung, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich (z. B. s > a), Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle s (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.

Ausführung

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2 Beispiele

L{e^t} = 1/(s − 1), Konvergenz s > 1 und F(2) = 1

Das Exponentialpaar: ∫₀^∞ e^(−st) e^t dt = ∫₀^∞ e^(−(s−1)t) dt = 1/(s−1), konvergent nur für s > 1. An der Stelle s = 2 ergibt sich exakt 1.

Laplace transform (table lookup) f(t) = e^(t) F(s) = 1/(s - 1) Region of convergence: s > a (here s > 1) Derivation: ∫₀^∞ e^(-(s-a)t) dt = 1/(s - a), the first-shift theorem with e^(at). Evaluation: F(2) = 1

L{sin(2t)} = 2/(s² + 4) — konvergiert für alle s

Das Sinuspaar: zweifache partielle Integration ergibt k/(s² + k²); mit k = 2 ist die Transformierte 2/(s² + 4). Da sin beschränkt ist, konvergiert das Integral für alle s.

Laplace transform (table lookup) f(t) = sin(2t) F(s) = 2/(s^2 + 4) Region of convergence: all s (sin is bounded) Derivation: two integrations by parts (or Euler's formula on e^(ikt)). Evaluation: F(3) = 0.1538

Eingaben

Fülle die erforderlichen Felder aus und starte das Tool.

6 Optionen

EinstellungenFormate, Bereiche, Zahlen und Modi anpassen.6

f(t)-FormselectPflichtParameter a (Exponent)numberOptionales FeldExponential rate in e^(at) forms.Parameter k (Frequenz)numberOptionales FeldAngular frequency in sin/cos/sinh/cosh forms (must be nonzero).Parameter n (Potenz, 1–10)numberOptionales FeldPower in t^n forms (integer 1–10; the factorial n! is used).F(s) bei s auswerten (optional)numberOptionales FeldNumeric evaluation point; must satisfy the region of convergence.DezimalstellennumberOptionales Feld

Ergebnis

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