Quelles formes de fonctions f(t) sont prises en charge ?

L'outil gère 14 paires standard : 1 (échelon), t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin(kt), cos(kt), e^(at)sin(kt), e^(at)cos(kt), sinh(kt), cosh(kt), t·sin(kt), t·cos(kt) et l'impulsion δ(t).

Comment la région de convergence (ROC) est-elle déterminée ?

La région de convergence est déduite de la forme choisie et des paramètres saisis (par exemple s > a pour une fonction exponentielle ou tout s pour un sinus borné).

Que se passe-t-il si la valeur s saisie est en dehors de la région de convergence ?

Le calculateur applique un contrôle de convergence strict et signale une erreur si la valeur s choisie ne satisfait pas les conditions d'existence de l'intégrale.

Quelles sont les limites pour la puissance n dans tⁿ ?

Le paramètre n accepte des entiers compris entre 1 et 10, utilisant la factorielle n! pour la forme symbolique exacte.

L'évaluation numérique F(s₀) est-elle obligatoire ?

Non, le champ d'évaluation en s est facultatif. S'il est laissé vide, l'outil affiche uniquement la formule symbolique, la ROC et la dérivation.

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Calculateur de transformée de Laplace (table des paires)

Obtient par table la transformée de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt : 14 paires standard (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) et leurs décalages exponentiels, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), avec substitution des paramètres, région de convergence (p. ex. s > a), note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point s (avec contrôle de convergence). Exemple : L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.

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2 exemples

L{e^t} = 1/(s − 1), ROC s > 1 et F(2) = 1

La paire exponentielle : ∫₀^∞ e^(−st) e^t dt = ∫₀^∞ e^(−(s−1)t) dt = 1/(s−1), convergente seulement pour s > 1. En s = 2, la valeur vaut exactement 1.

Laplace transform (table lookup) f(t) = e^(t) F(s) = 1/(s - 1) Region of convergence: s > a (here s > 1) Derivation: ∫₀^∞ e^(-(s-a)t) dt = 1/(s - a), the first-shift theorem with e^(at). Evaluation: F(2) = 1

L{sin(2t)} = 2/(s² + 4) — converge pour tout s

La paire sinus : deux intégrations par parties donnent k/(s² + k²) ; avec k = 2, la transformée vaut 2/(s² + 4). sin étant bornée, l'intégrale converge pour tout s.

Laplace transform (table lookup) f(t) = sin(2t) F(s) = 2/(s^2 + 4) Region of convergence: all s (sin is bounded) Derivation: two integrations by parts (or Euler's formula on e^(ikt)). Evaluation: F(3) = 0.1538

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6 réglages

RéglagesAjustez formats, plages, nombres et modes.6

Forme de f(t)selectRequisParamètre a (exposant)numberOptionnelExponential rate in e^(at) forms.Paramètre k (fréquence)numberOptionnelAngular frequency in sin/cos/sinh/cosh forms (must be nonzero).Paramètre n (puissance, 1–10)numberOptionnelPower in t^n forms (integer 1–10; the factorial n! is used).Évaluer F(s) en s (facultatif)numberOptionnelNumeric evaluation point; must satisfy the region of convergence.DécimalesnumberOptionnel

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1. Transformée d'une exponentielle réelle

2. Transformée d'une oscillation sinusoïdale

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