Dans quel ordre faut-il entrer les coefficients polynomiaux ?

Les coefficients doivent être saisis par ordre de puissances croissantes de s, en commençant par le terme constant (ex. '5,3' correspond à 3s + 5).

Le calculateur prend-il en charge les fractions rationnelles impropres ?

Non, l'outil requiert une fraction propre où le degré du numérateur N(s) est strictement inférieur à celui du dénominateur D(s).

Quelle est la limite de degré pour le polynôme dénominateur D(s) ?

Le degré du dénominateur D(s) doit être inférieur ou égal à 6.

Comment sont traitées les racines complexes conjuguées du dénominateur ?

Elles sont regroupées sous forme de facteurs quadratiques irréductibles ((s - α)² + β²) et inversées en termes d'exponentielles modulées par des sinus et cosinus.

À quoi sert le paramètre Décimales ?

Il contrôle la précision de l'arrondi numérique affiché pour les coefficients réels et les termes calculés dans la décomposition.

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Calculateur de transformée de Laplace inverse (fractions partielles)

Calcule la transformée de Laplace inverse de F(s) = N(s)/D(s) (fraction propre, dénominateur de degré ≤ 6) : racines du dénominateur regroupées par multiplicité et paires conjuguées, décomposition en fractions partielles par résolution d'un système linéaire sur les coefficients polynomiaux, puis inversion terme à terme avec les paires standard (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]). Classiques : 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t) ; (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).

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2 exemples

L⁻¹{1/(s² + 3s + 2)} = e^(−t) − e^(−2t)

Le dénominateur se factorise en (s + 1)(s + 2), donc 1/(s² + 3s + 2) = 1/(s + 1) − 1/(s + 2) et chaque terme s'inverse directement en exponentielle : f(t) = e^(−t) − e^(−2t).

Inverse Laplace transform via partial fractions F(s) = 1/(s^2 + 3 s + 2) Step 1 — Denominator roots: r = -1 (×1), r = -2 (×1) Step 2 — Partial fractions: F(s) = 1/(s + 1) - 1/(s + 2) Step 3 — Invert term by term: A/(s - r) → A·e^(rt) f(t) = e^(-t) - e^(-2t)

L⁻¹{(3s + 5)/(s² + 4)} = 3cos(2t) + 2,5sin(2t)

Le dénominateur s² + 4 a pour racines conjuguées ±2i, donc la décomposition reste sous forme quadratique (3s + 5)/(s² + 4). Le décalage vers ((s)² + 2²) puis l'inversion de la paire donnent f(t) = 3·cos(2t) + (5/2)·sin(2t).

Inverse Laplace transform via partial fractions F(s) = (3 s + 5)/(s^2 + 4) Step 1 — Denominator roots: conjugate pair α = 0, β = 2 Step 2 — Partial fractions: F(s) = (3 s + 5)/(s^2 + 4) Step 3 — Invert the quadratic pair: e^(αt)·[B·cos(βt) + ((C + Bα)/β)·sin(βt)] f(t) = 3 cos(2t) + 2.5 sin(2t)

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3 réglages

ContenuCollez ou saisissez les valeurs principales.2

Coefficients du numérateur N(s) (constante d'abord)textRequisComma-separated numerator coefficients, constant term first, e.g. 5,3 → 3s + 5.Coefficients du dénominateur D(s) (constante d'abord)textRequisComma-separated denominator coefficients, constant term first, degree ≤ 6, e.g. 2,3,1 → s² + 3s + 2.

RéglagesAjustez formats, plages, nombres et modes.1

DécimalesnumberOptionnel

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