Solucionador numérico Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4)
Resolve dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ com o Runge-Kutta clássico de 4ª ordem: cada passo calcula as quatro inclinações k1–k4 e atualiza y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), com erro global O(h⁴) — dividir h por 2 reduz o erro ~16 vezes. Fornece a tabela passo a passo, o detalhe de k1–k4 dos primeiros passos e a estimativa final; a solução exata y(x), opcional, adiciona coluna de erro. Exemplo: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, quase exatamente e.
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Guia de uso da ferramenta
Veja quando usar esta ferramenta, o que ela suporta e como os usuários a aplicam.
Fatos principais
Categoria
Math & Numbers
Tipos de entrada
text, number
Tipo de saída
text
Cobertura de exemplos
4
API pronta
Sim
Visão geral
O solucionador numérico Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) resolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem no formato dy/dx = f(x, y) a partir de uma condição inicial y(x₀) = y₀. A ferramenta calcula o passo h com base no intervalo e número de passos definidos, avalia as quatro inclinações intermediárias k1, k2, k3 e k4 em cada iteração e gera uma tabela detalhada com valores calculados e erros em relação à solução exata opcional.
Quando usar
Quando você precisa resolver numericamente uma EDO dy/dx = f(x, y) com alta precisão e erro global de ordem O(h⁴).
Quando você estuda métodos numéricos e precisa visualizar o detalhamento das inclinações intermediárias k1–k4 nos primeiros passos.
Quando você deseja comparar a aproximação numérica com a solução analítica exata y(x) para analisar os erros absolutos por iteração.
Como funciona
1Informe a função f(x, y), os valores iniciais x₀ e y₀, o ponto final x alvo e a quantidade de passos desejada.
2Opcionalmente, forneça a expressão analítica y(x) e ajuste o número de casas decimais para a formatação do resultado.
3O algoritmo calcula o tamanho do passo h = (x alvo - x₀)/n e executa a média ponderada das quatro inclinações em cada iteração.
4A ferramenta exibe o resumo dos parâmetros, as inclinações k1–k4 dos passos iniciais, a tabela iterativa completa e o valor final aproximado.
Casos de uso
Validação de exercícios acadêmicos de cálculo numérico e análise de convergência de EDOs.
Aproximação de trajetórias e modelos de decaimento em física sem solução analítica trivial.
Comparação de precisão entre métodos numéricos usando a tabela de erro absoluto passo a passo.
Exemplos
1. Crescimento exponencial dy/dx = y
Estudante de Engenharia
Contexto
Precisa validar a aproximação numérica do problema clássico de valor inicial dy/dx = y com y(0) = 1 no ponto x = 1.
Problema
Calcular a aproximação de e com 10 passos e verificar a divergência em relação à função analítica e^x.
Como usar
Insira y no campo f(x, y), x₀ = 0, y₀ = 1, x alvo = 1, defina 10 passos e preencha a solução exata com e^x.
Gera y(1) ≈ 2,718280 com erro absoluto de aproximadamente 0,000002 em relação ao valor exato.
2. Decaimento gaussiano dy/dx = -2x*y
Pesquisador de Modelagem Física
Contexto
Está analisando uma EDO não autônoma dy/dx = -2xy no intervalo de 0 a 1 com condição inicial y(0) = 1.
Problema
Obter uma estimativa rápida com poucos passos e verificar a estabilidade das inclinações k1 a k4.
Como usar
Preencha -2*x*y na função, mantenha x₀ = 0, y₀ = 1, defina x alvo = 1 com 4 passos e adicione a solução exata e^(-x^2).
Perguntas frequentes
Como a fórmula clássica do RK4 calcula o próximo valor y_{n+1}?
O método calcula quatro inclinações (k1, k2, k3, k4) ao longo do intervalo h e aplica a média ponderada y_{n+1} = y_n + (h/6) * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4).
Como são escritas as funções matemáticas no campo f(x, y)?
Utilize operadores padrão com multiplicação explícita usando *, como em -2*x*y, e funções suportadas como sin, cos, exp, ln e sqrt.
O que acontece ao dobrar o número de passos n?
Como o método RK4 possui erro global de ordem O(h⁴), reduzir o passo h pela metade geralmente diminui o erro global em cerca de 16 vezes.
Para que serve o campo de solução exata y(x)?
Ele é opcional e serve para calcular automaticamente o erro absoluto |y_numérico - y_exato| em cada linha da tabela de resultados.
Existe um limite para a quantidade de passos configurada?
Sim, o campo de passos aceita valores inteiros entre 1 e 10000 para balancear detalhamento numérico e velocidade de cálculo.