Numerischer Löser Runge-Kutta 4. Ordnung (RK4)

Numerischer Löser Runge-Kutta 4. Ordnung (RK4) | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Math & Numbers
Eingabetypen: text, number
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Der Runge-Kutta-RK4-Löser berechnet numerische Lösungen für gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung der Form dy/dx = f(x, y) mit gegebener Anfangsbedingung y(x₀) = y₀. Das klassische vierstufige Verfahren zeichnet sich durch einen globalen Fehler der Ordnung O(h⁴) aus und liefert eine detaillierte Schritttabelle inklusive der Zwischensteigungen k₁ bis k₄ sowie einen optionalen Vergleich mit einer analytischen Lösung.

Wann verwenden

Wenn eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung nicht analytisch lösbar ist und eine präzise numerische Näherung benötigt wird.
Wenn die Genauigkeit von einfacheren Methoden wie dem Euler-Verfahren nicht ausreicht und eine Konvergenzordnung von O(h⁴) erforderlich ist.
Wenn für Übungsaufgaben oder Validierungen die exakten Zwischensteigungen k₁, k₂, k₃ und k₄ pro Schritt nachvollzogen werden müssen.

So funktioniert es

1Geben Sie die rechte Seite der Differentialgleichung f(x, y), den Anfangspunkt (x₀, y₀) sowie den Zielwert für x ein.
2Legen Sie die Schrittanzahl fest, woraus sich die Schrittweite h = (Ziel-x - x₀) / n ergibt, und tragen Sie optional die analytische Vergleichsfunktion y(x) ein.
3Für jedes Intervall berechnet der Algorithmus vier Hilfssteigungen: k₁ = f(x, y), k₂ = f(x + h/2, y + h·k₁/2), k₃ = f(x + h/2, y + h·k₂/2) und k₄ = f(x + h, y + h·k₃).
4Der neue Wert y_{n+1} wird über die gewichtete Mittelung y_{n+1} = y_n + (h/6) · (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) bestimmt und zusammen mit dem Fehler in der Ausgabetabelle angezeigt.

Anwendungsfälle

Numerische Simulation von Abkühlungs- oder Erwärmungsprozessen nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz.
Berechnung von Zerfallsprozessen oder Populationsdynamiken mit nichtlinearen Wachstumsraten.
Verifikation von manuellen Hausaufgaben-Berechnungen in Numerik- und Ingenieurvorlesungen.

Beispiele

1. Exponentielles Wachstum lösen

Mathematikstudent

Hintergrund

In einer Numerik-Übung soll die Differentialgleichung des natürlichen Wachstums dy/dx = y mit dem Startwert y(0) = 1 bis x = 1 berechnet werden.

Aufgabe

Manuelles Berechnen aller vier RK4-Stufen über mehrere Schritte ist zeitaufwendig und fehleranfällig.

Verwendung

fxy als `y`, x0 auf `0`, y0 auf `1`, xEnd auf `1` und steps auf `10` setzen. Als exactY `e^x` eintragen.

fxy: "y", x0: 0, y0: 1, xEnd: 1, steps: 10, exactY: "e^x", decimalPlaces: 6

Ergebnis

Der Endwert bei x = 1 wird als 2,718280 berechnet, mit einem absoluten Fehler von lediglich 0,000002 gegenüber e.

2. Gaußscher Zerfall mit wenigen Schritten

Physikingenieur

Hintergrund

Ein Dämpfungsvorgang folgt der nichtautonomen Differentialgleichung dy/dx = -2x*y mit y(0) = 1.

Aufgabe

Es soll geprüft werden, wie genau das RK4-Verfahren bei einer groben Schrittweite von h = 0,25 abschneidet.

Verwendung

fxy als `-2x*y`, x0 auf `0`, y0 auf `1`, xEnd auf `1` und steps auf `4` einstellen. exactY auf `e^(-x^2)` setzen.

FAQ

Welche mathematischen Funktionen können in f(x, y) genutzt werden?

Es werden Standardfunktionen wie sin, cos, exp, ln, sqrt sowie grundlegende Rechenoperationen unterstützt; Multiplikationen müssen explizit mit * geschrieben werden.

Was bedeutet der globale Fehler O(h⁴)?

Wird die Schrittweite h halbiert (z. B. durch Verdopplung der Schrittanzahl), verringert sich der globale Diskretisierungsfehler näherungsweise um den Faktor 16 (2⁴).

Muss die exakte Lösung angegeben werden?

Nein, das Feld für die exakte Lösung ist optional. Wird es ausgefüllt, berechnet das Tool zusätzlich den absoluten Fehler zu jedem Schritt.

Darf der Zielwert kleiner als x₀ sein?

Nein, der Zielwert für x muss größer als der Anfangswert x₀ sein, damit vorwärts integriert werden kann.

Wie wird die Schrittweite h bestimmt?

Die Schrittweite berechnet sich automatisch aus der Differenz zwischen Ziel-x und Anfangs-x geteilt durch die gewählte Schrittanzahl n.

fxy: "-2x*y", x0: 0, y0: 1, xEnd: 1, steps: 4, exactY: "e^(-x^2)", decimalPlaces: 6

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