Solver numérico Runge-Kutta de 4º orden (RK4)

Solver numérico Runge-Kutta de 4º orden (RK4) | Herramienta online gratis | Elysia Tools

Guía de uso de la herramienta

Conoce cuándo usar esta herramienta, qué admite y cómo la aplican los usuarios.

Datos clave

Categoría: Math & Numbers
Tipos de entrada: text, number
Tipo de salida: text
Cobertura de ejemplos: 4
API disponible: Sí

Resumen

El solver numérico Runge-Kutta de 4º orden (RK4) permite resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden de la forma dy/dx = f(x, y) con condición inicial y(x₀) = y₀. Al ponderar cuatro pendientes intermedias (k1, k2, k3 y k4) en cada iteración, el método alcanza un orden de convergencia global O(h⁴), produciendo una tabla paso a paso detallada, el desglose de pendientes de las etapas iniciales y la estimación numérica final, con la posibilidad de comparar el resultado contra una solución exacta analítica.

Cuándo usarlo

Al resolver numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias dy/dx = f(x, y) que no poseen una solución analítica directa o elemental.
Cuando se requiere alta precisión numérica con orden de error O(h⁴) en simulaciones de valor inicial utilizando un menor número de pasos que con el método de Euler.
Para validar ejercicios de métodos numéricos y verificar los valores intermedios de las pendientes k1, k2, k3 y k4 frente a soluciones analíticas conocidas.

Cómo funciona

1Introduce la función f(x, y), los valores de la condición inicial (x₀, y₀), el valor final de x objetivo y el número de pasos n para definir el paso h = (xEnd − x₀) / n.
2En cada intervalo, el algoritmo evalúa las cuatro pendientes intermedias: k1 en el extremo inicial, k2 y k3 en el punto medio proyectado, y k4 en el extremo final.
3Se actualiza el valor de la variable dependiente mediante la fórmula ponderada y_{n+1} = y_n + (h / 6) · (k1 + 2·k2 + 2·k3 + k4) de forma sucesiva hasta alcanzar el valor objetivo.
4Si se ingresa una solución analítica opcional y(x), el solver calcula el valor exacto y agrega una columna con el error absoluto para cada paso del cálculo.

Casos de uso

Cálculo numérico de modelos de enfriamiento, calentamiento térmico o cinéticas químicas formuladas mediante dy/dx = f(x, y).
Estudio y validación paso a paso de tareas académicas de cálculo numérico analizando las pendientes k1, k2, k3 y k4.
Aproximación de trayectorias y respuestas transitorias en sistemas dinámicos simples modelados por EDOs de primer orden.

Ejemplos

1. Crecimiento exponencial simple dy/dx = y

Estudiante de ingeniería

Contexto

Se requiere aproximar el valor de y(1) para la ecuación diferencial dy/dx = y con condición inicial y(0) = 1 mediante 10 pasos.

Problema

Calcular la tabla de iteraciones y contrastar el error frente a la solución analítica exacta e^x.

Cómo usarlo

Ingresa `y` en f(x, y), x₀ = 0, y₀ = 1, x objetivo = 1, 10 pasos y define `e^x` en la solución exacta con 6 decimales.

Resultado

Genera la tabla con paso h = 0,1, arrojando y(1) ≈ 2,718280 con un error absoluto de solo 0,000002 frente al valor exacto.

2. Decaimiento gaussiano dy/dx = -2x*y

Docente de métodos numéricos

Contexto

Se desea demostrar el comportamiento de RK4 en ecuaciones no autónomas utilizando un tamaño de paso amplio con solo 4 iteraciones.

Problema

Aproximar y(1) partiendo de y(0) = 1 con paso h = 0,25 y verificar la convergencia frente a y(x) = e^(-x^2).

Cómo usarlo

Configura f(x, y) como `-2x*y`, x₀ = 0, y₀ = 1, x objetivo = 1, pasos = 4 y solución exacta como `e^(-x^2)`.

Resultado

Preguntas frecuentes

¿Por qué RK4 es más preciso que el método de Euler?

RK4 evalúa cuatro pendientes intermedias por paso logrando un error global O(h⁴), mientras que Euler solo usa una pendiente inicial con error global O(h).

¿Cómo se calcula el tamaño de paso h?

El tamaño de paso se calcula dividiendo la amplitud del intervalo entre el número de pasos: h = (x objetivo − x₀) / n.

¿Cómo se deben escribir las funciones matemáticas en f(x, y)?

Utiliza operadores estándar con multiplicación explícita (*) y funciones comunes como sin, cos, exp, ln o sqrt (por ejemplo, -2*x*y o sin(x)*y).

¿Es obligatorio proporcionar la solución exacta y(x)?

No, es opcional; solo se utiliza para calcular y mostrar la columna de error absoluto respecto a la solución analítica.

¿Cuántos pasos como máximo se pueden configurar?

El solver permite configurar entre 1 y un máximo de 10 000 pasos de integración numérica.

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Casos de uso

Ejemplos

1. Crecimiento exponencial simple dy/dx = y

2. Decaimiento gaussiano dy/dx = -2x*y

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