Qu'est-ce que la méthode Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) ?

C'est une méthode d'intégration numérique qui estime y_{n+1} en combinant quatre pentes pondérées (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 sur chaque intervalle.

Quelle est la précision de la méthode RK4 ?

Elle possède une erreur globale d'ordre O(h⁴), ce qui signifie que diviser la taille du pas par deux réduit l'erreur globale d'environ 16 fois.

Comment formater les expressions mathématiques pour f(x, y) ?

Utilisez une syntaxe standard avec des multiplications explicites (par exemple x*y) et les fonctions usuelles comme exp, ln, sin, cos ou sqrt.

Le champ de solution exacte est-il obligatoire ?

Non, il est facultatif et sert uniquement à afficher une colonne de comparaison d'erreur absolue par rapport au résultat théorique.

Quelle est la limite pour le nombre de pas ?

Le solveur accepte de 1 à 10 000 pas pour adapter la résolution entre rapidité d'exécution et précision numérique.

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Solveur numérique Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)

Résout dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par le Runge-Kutta classique d'ordre 4 : chaque pas calcule les quatre pentes k1–k4 et met à jour y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), avec une erreur globale en O(h⁴) — diviser h par 2 réduit l'erreur d'un facteur ~16. Fournit le tableau des itérations, le détail des k1–k4 des premiers pas et l'estimation finale ; la solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, quasiment e.

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2 exemples

dy/dx = y, y(0) = 1, h = 0,1 → y(1) ≈ 2,718280 (erreur ≈ 2×10⁻⁶)

RK4 évalue quatre pentes par pas avec les poids 1:2:2:1. Pour y' = y, le résultat en x = 1 est 2,718280 contre e = 2,718282 exactement, soit une erreur absolue proche de 2×10⁻⁶ — précision d'ordre 4 avec 10 pas seulement.

Classical fourth-order Runge-Kutta (RK4) dy/dx = f(x, y) = y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 1, n = 10 steps, h = 0.1 i x_i y_i |error| 0 0.000000 1.000000 0.000000 … 10 1.000000 2.718280 0.000002 Stage detail, step 1 (x = 0 → 0.1): k1 = f(0, 1) = 1 k2 = f(0.05, 1.05) = 1.05 k3 = f(0.05, 1.0525) = 1.0525 k4 = f(0.1, 1.10525) = 1.10525 y1 = 1 + h/6·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) = 1.105171 Final estimate: y(1) ≈ 2.718280 Exact y(x) = e^x: y(1) = 2.718282, |error| ≈ 0.000002

Décroissance gaussienne dy/dx = −2x·y, y(0) = 1 → y(1) ≈ 0,367934 en 4 pas seulement

L'EDO non autonome y' = −2xy a pour solution exacte y = e^(−x²). Même avec 4 pas seulement (h = 0,25), RK4 donne y(1) ≈ 0,367934 contre 0,367879 exactement — une erreur d'environ 5,5×10⁻⁵.

Classical fourth-order Runge-Kutta (RK4) dy/dx = f(x, y) = -2x*y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 1, n = 4 steps, h = 0.25 Final estimate: y(1) ≈ 0.367934 Exact y(x) = e^(-x^2): y(1) = 0.367879, |error| ≈ 0.000055

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7 réglages

ContenuCollez ou saisissez les valeurs principales.2

f(x, y) dans dy/dx = f(x, y)textRequisRight-hand side in terms of x and y (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). Write products with *, e.g. x*y.Solution exacte y(x) (facultatif)textOptionnelExact solution in x, used to add an error column. Leave empty to skip.

RéglagesAjustez formats, plages, nombres et modes.5

x₀ (x initial)numberRequisy₀ = y(x₀)numberRequisx ciblenumberRequisMust be greater than x₀.Nombre de pas nnumberRequish = (target x − x₀)/n. More steps → smaller error, O(h⁴) globally.DécimalesnumberOptionnel

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