Quais tipos de funções são aceitas em g(x)?

São aceitas constantes, potências como x^n e (kx+m)^n, exponenciais e^(kx), funções trigonométricas sin(kx+m) e cos(kx+m), logaritmos ln(kx+m) e raízes sqrt(kx+m).

O solucionador suporta polinômios quadráticos em h(y)?

Sim, a ferramenta decompõe polinômios de grau até 2 com raízes reais em frações parciais, como na equação logística y(1-y).

O que acontece se eu não informar x₀ e y₀?

A ferramenta calcula a solução geral da equação mantendo a constante arbitrária de integração C.

A resposta sempre apresentará y isolado explicitamente?

Quando a relação H(y) contiver termos que não possam ser invertidos por funções elementares, a ferramenta retornará a solução em sua forma implícita exata.

Como a constante C é calculada no PVI?

A constante é obtida aplicando a condição inicial diretamente na relação integrada: C = H(y₀) - G(x₀).

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Solucionador de EDO de primeira ordem (separação de variáveis)

Resolve dy/dx = g(x)·h(y) por separação de variáveis: separa, integra termo a termo obtendo H(y) = G(x) + C e, quando possível, isola y = f(x). Aceita h(y) de um termo (y, y^n, e^(ky), ky+m) e polinômios quadráticos decomponíveis em frações parciais (como o logístico y(1−y)); com a condição inicial y(x₀)=y₀ calcula C e detecta soluções de equilíbrio. Exemplo: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).

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2 exemplos

dy/dx = 2x·y com y(0) = 1 → y = e^(x²)

Separando: dy/y = 2x dx; integrando, ln|y| = x² + C, logo y = e^(x²+C). A condição y(0) = 1 impõe C = 0 e a solução particular y = e^(x²).

dy/dx = g(x)·h(y) with g(x) = 2 x, h(y) = y Step 1 — Separate variables: (1/y) dy = 2 x dx Step 2 — Integrate both sides: ln|y| = x^2 + C Step 3 — Solve for y: y = e^(x^2 + C) Initial condition y(0) = 1: C = H(y0) - G(x0) = 0 Particular solution: y = e^(x^2)

Logística dy/dx = x·y(1−y), y(0) = 2 → solução implícita

h(y) = y(1−y) fatora-se em y e (1−y), então 1/h decompõe-se em frações parciais 1/y − 1/(y−1). Integrando: ln|y| − ln|y−1| = x²/2 + C; H mistura dois logaritmos e y permanece implícita. Com y(0) = 2, C = ln 2 ≈ 0,693147.

dy/dx = g(x)·h(y) with g(x) = x, h(y) = y - y^2 Step 1 — Separate variables (partial fractions): (1/y - 1/(y - 1)) dy = x dx Step 2 — Integrate both sides: ln|y| - ln|y - 1| = 0.5 x^2 + C Step 3 — H(y) mixes irreducible terms: y cannot be isolated in elementary form; the implicit relation above is the solution. Initial condition y(0) = 2: C = H(y0) - G(x0) = 0.693147 Implicit particular solution: ln|y| - ln|y - 1| = 0.5 x^2 + 0.693147

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4 opções

ConteúdoCole ou digite os valores principais.2

g(x) — fator do lado xtextObrigatóriox-dependent factor of dy/dx = g(x)·h(y). Terms: constants, x^n, (kx+m)^n, e^(kx), sin(kx+m), cos(kx+m), ln(kx+m), sqrt(kx+m).h(y) — fator do lado ytextObrigatórioy-dependent factor. Single terms (y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky)) or a degree ≤ 2 polynomial with real roots, or c/D(y).

ConfiguraçõesAjuste formatos, intervalos, números e modos.2

x₀ (x inicial)numberOpcionalOnly used together with y₀ to pin down the constant C.y₀ = y(x₀)numberOpcionalInitial value. Leave empty for the general solution; provide with x₀ for the particular solution.

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1. Solução de PVI com decaimento/crescimento

2. Equação diferencial logística

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