O que acontece se eu não informar a derivada f'(x)?

A calculadora utilizará automaticamente o método numérico de diferenças centrais com um passo infinitesimal (h ≈ 1e-7) para aproximar f'(x).

Quais funções matemáticas são aceitas na expressão?

São suportadas operações aritméticas padrão (+, -, *, /, ^), parênteses e funções como exp, sin, cos, ln e sqrt.

O que faz a ferramenta parar de iterar?

O processo para quando |f(x)| é menor que a tolerância definida, quando o deslocamento |Δx| atinge o critério de convergência ou quando o número máximo de iterações é atingido.

Como a calculadora lida com derivadas iguais a zero?

Se f'(x_k) for zero ou excessivamente próximo de zero durante o cálculo, a ferramenta interrompe o processo e relata explicitamente a divisão por zero ou divergência.

Por que o método pode não convergir para a raiz desejada?

O método de Newton-Raphson depende fortemente da escolha do chute inicial x₀. Se x₀ estiver próximo de pontos de inflexão, extremos locais ou de outra raiz, ele pode divergir ou convergir para uma solução diferente.

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Calculadora de raízes por Newton-Raphson

Resolve f(x) = 0 com a iteração de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): a derivada pode ser dada analiticamente (se ficar vazia, usa-se uma diferença central numérica); são exibidos a tabela de iterações (x_k e f(x_k)), o critério de paragem (|f| < tolerância ou |Δx| < tolerância·max(1,|x|)), o número de iterações e o |f(raiz)| final. Clássicos: x²−2 a partir de x₀=1 converge em 4 passos para √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x converge para o número de Dottie 0.7390851332. Derivada nula, passos divergentes ou exceder o limite de iterações são reportados explicitamente.

Execução

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2 exemplos

x² − 2 = 0 a partir de x₀ = 1 → √2 ≈ 1.4142135624 em 4 iterações

O método de Newton em x² − 2 duplica os dígitos corretos por passo: 1 → 1.5 → 1.4166667 → 1.4142157 → 1.4142135624, onde |f| cai abaixo de 1e-10. Sem derivada fornecida, a diferença central numérica reproduz a tangente analítica 2x com precisão de máquina.

Newton–Raphson root finding f(x) = x^2 - 2 f'(x): numeric central difference (h ≈ 1e-7) Start: x₀ = 1, tolerance = 1e-10, max iterations = 50 Iterations: k x_k f(x_k) 0 1 -1 1 1.5 0.25 2 1.4166666667 0.0069444444 3 1.4142156863 0.0000060073 4 1.4142135624 0 Converged after 4 iterations Root: x ≈ 1.4142135624 |f(root)| ≈ 4.5e-12

cos(x) − x = 0 → o número de Dottie 0.7390851332

O ponto fixo de cos(x) é encontrado com a derivada analítica −sin(x) − 1: partindo de x₀ = 1, a iteração converge quadraticamente para 0.7390851332151607 em 4 passos — o número de Dottie.

Newton–Raphson root finding f(x) = cos(x) - x f'(x): analytic (-sin(x) - 1) Start: x₀ = 1, tolerance = 1e-10, max iterations = 50 Iterations: k x_k f(x_k) 0 1 -0.4596976941 1 0.7503638678 -0.0189230738 2 0.7391128909 -0.0000464559 3 0.7390851334 -3e-10 4 0.7390851332 0 Converged after 4 iterations Root: x ≈ 0.7390851332 |f(root)| ≈ 0.0e+0

Entradas

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6 opções

ConteúdoCole ou digite os valores principais.2

Expressão f(x)textObrigatórioThe function whose root is sought, in the variable x. Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln.Expressão f'(x) (opcional)textOpcionalOptional analytic derivative; when blank a central difference (h ≈ 1e-7) is used.

ConfiguraçõesAjuste formatos, intervalos, números e modos.4

Chute inicial x₀numberOpcionalStarting point of the iteration.TolerâncianumberOpcionalConvergence threshold on |f(x)| and on the step size.Iterações máximasnumberOpcionalHard cap on the number of iterations (2–200).Casas decimaisnumberOpcional

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Quando usar

Como funciona

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Exemplos

1. Cálculo da raiz quadrada de 2

2. Obtenção do Número de Dottie

Perguntas frequentes

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Exemplos de Processamento de Imagem Android Java

Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin

Exemplos de Processamento de Imagem Web Rust

Analisador de Assimetria

Solucionador de EDO de primeira ordem (separação de variáveis)

Integrador pela regra de Simpson (∫f(x)dx)

Integrador pela regra do trapézio (∫f(x)dx)

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Ferramentas de intercambio JSON e traducao de formatos

Ferramentas de conversao de espacos de cor para web e impressao