Какова точность классического метода Рунге—Кутты 4-го порядка?

Метод обладает четвертым порядком точности с глобальной погрешностью O(h⁴): при уменьшении шага h вдвое погрешность падает примерно в 16 раз.

Как правильно записывать математические функции в f(x, y)?

Используйте стандартные операции и функции (sin, cos, exp, ln, sqrt), обязательно указывая знак умножения `*` (например, `2*x*y`).

Обязательно ли задавать точное решение y(x)?

Нет, это поле опционально. Оно требуется только для вычисления и отображения столбца с абсолютной погрешностью |error|.

Может ли конечный x быть меньше начального x₀?

В текущей конфигурации целевой x должен быть строго больше начального значения x₀.

Сколько знаков после запятой можно настроить в выводе?

Параметр округления позволяет выводить результаты с точностью от 0 до 10 знаков после запятой.

Elysia Tools

Навигация

Math & Numbers

Численный решатель Рунге—Кутты 4-го порядка (RK4)

Решает dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ классическим методом Рунге—Кутты 4-го порядка: на каждом шаге вычисляются четыре наклона k1–k4 и y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4); глобальная погрешность O(h⁴) — при уменьшении шага вдвое ошибка падает примерно в 16 раз. Выводит пошаговую таблицу, значения k1–k4 первых шагов и конечную оценку; необязательное точное решение y(x) добавляет столбец ошибки. Пример: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, практически e.

Запуск

Запустить этот инструмент

Заполните форму, запустите инструмент и посмотрите результат на этой же странице.

Подготовленные примеры запуска

Нажмите пример, чтобы автоматически заполнить форму. Файлы по-прежнему нужно загрузить.

2 примеров

dy/dx = y, y(0) = 1, h = 0,1 → y(1) ≈ 2,718280 (ошибка ≈ 2×10⁻⁶)

RK4 вычисляет четыре наклона на шаг с весами 1:2:2:1. Для y' = y результат в x = 1 равен 2,718280 против точного e = 2,718282, абсолютная погрешность около 2×10⁻⁶ — точность четвёртого порядка всего за 10 шагов.

Classical fourth-order Runge-Kutta (RK4) dy/dx = f(x, y) = y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 1, n = 10 steps, h = 0.1 i x_i y_i |error| 0 0.000000 1.000000 0.000000 … 10 1.000000 2.718280 0.000002 Stage detail, step 1 (x = 0 → 0.1): k1 = f(0, 1) = 1 k2 = f(0.05, 1.05) = 1.05 k3 = f(0.05, 1.0525) = 1.0525 k4 = f(0.1, 1.10525) = 1.10525 y1 = 1 + h/6·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) = 1.105171 Final estimate: y(1) ≈ 2.718280 Exact y(x) = e^x: y(1) = 2.718282, |error| ≈ 0.000002

Гауссово затухание dy/dx = −2x·y, y(0) = 1 → y(1) ≈ 0,367934 всего за 4 шага

Неавтономное уравнение y' = −2xy имеет точное решение y = e^(−x²). Даже при всего 4 шагах (h = 0,25) RK4 даёт y(1) ≈ 0,367934 против точного 0,367879 — погрешность около 5,5×10⁻⁵.

Classical fourth-order Runge-Kutta (RK4) dy/dx = f(x, y) = -2x*y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 1, n = 4 steps, h = 0.25 Final estimate: y(1) ≈ 0.367934 Exact y(x) = e^(-x^2): y(1) = 0.367879, |error| ≈ 0.000055

Ввод

Заполните нужные поля и запустите инструмент.

7 параметров

СодержимоеВставьте или введите основные значения.2

f(x, y) из dy/dx = f(x, y)textОбязательноRight-hand side in terms of x and y (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). Write products with *, e.g. x*y.Точное решение y(x) (необязательно)textНеобязательноExact solution in x, used to add an error column. Leave empty to skip.

НастройкиНастройте форматы, диапазоны, числа и режимы.5

x₀ (начальный x)numberОбязательноy₀ = y(x₀)numberОбязательноцелевой xnumberОбязательноMust be greater than x₀.Число шагов nnumberОбязательноh = (target x − x₀)/n. More steps → smaller error, O(h⁴) globally.Знаков после запятойnumberНеобязательно

Результат

Готово к запуску

После запуска здесь появятся файлы, текст, структурированные данные или потоковый вывод.

Примеры

Примеры для этого инструмента

Связано

Численный решатель Рунге—Кутты 4-го порядка (RK4)

Запустить этот инструмент

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Примеры для этого инструмента

Продолжить с похожими инструментами и темами

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Узнайте, когда использовать этот инструмент, что он поддерживает и как его применяют пользователи.

Ключевые факты

Обзор

Когда использовать

Как это работает

Сценарии использования

Примеры

1. Экспоненциальный рост dy/dx = y

2. Гауссово затухание dy/dx = -2xy

FAQ

Примеры Обработки Изображений Web Python

Примеры Обработки Изображений Android Java

Примеры Обработки Изображений Android Kotlin

Примеры Обработки Изображений Web Rust

Решатель ОДУ первого порядка (разделение переменных)

Калькулятор метода Ньютона-Рафсона

Интегрирование по формуле Симпсона (∫f(x)dx)

Интегрирование методом трапеций (∫f(x)dx)

Инструменты кодирования и конвертации аудио

Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта

Инструменты JSON-обмена и перевода форматов

Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати