浏览运行中的工具目录 | 第 210 页

计算素数计数函数 π(n)——不超过 n 的素数个数。用一遍埃拉托色尼筛（上限 10⁷）精确计数，同时给出 n/ln n 近似、素数密度、平均间隔和不超过 n 的最大素数，可选列出最靠近 n 的至多 20 个素数。经典基准值：π(100) = 25、π(1000) = 168、π(10⁶) = 78498、π(10⁷) = 664579。

计算 Jacobi 符号 (a/n)（n 为奇数，可达 10¹⁸；素数时即 Legendre 符号）：素数模下 a^((n−1)/2) ≡ 1 判定为二次剩余，并用 Tonelli–Shanks（或 p ≡ 3 (mod 4) 时的直接公式）给出平方根 ±√a；符号为 −1 则 a 一定不是二次剩余。合数模下 Jacobi 符号只是必要条件：−1 证明非剩余，+1 不确定（n ≤ 10⁵ 时自动暴力枚举求真相）。经典例：10 是 mod 13 的二次剩余，根为 ±6。

计算 M/M/1 单服务台排队系统的稳态指标：泊松到达（率 λ）、指数服务（率 μ）、FCFS。要求 λ < μ，否则系统不稳定（队列无限增长）并按业务拒绝处理。输出利用率 ρ、系统空闲概率 P0、系统中平均人数 L、队列平均等待人数 Lq、平均逗留时间 W、平均等待时间 Wq、顾客需等待的概率 ρ，以及状态概率 P(n) = (1−ρ)ρⁿ（n = 0…5），并用 Little 公式 L = λW、Lq = λWq 交叉验证。经典例：λ = 4/小时、μ = 6/小时 → ρ = 0.6667、L = 2、Lq = 1.3333、W = 0.5、Wq = 0.3333。

计算 M/M/c 多服务台排队系统的稳态指标（泊松到达率 λ、c 个相同指数服务台、各台服务率 μ、共享 FCFS 队列）：给出通达量 a = λ/μ、每台利用率 ρ、系统空闲概率 P0、Erlang-C 等待概率 Pw、队列平均人数 Lq、系统平均人数 L、平均逗留时间 W 与等待时间 Wq，并用 Little 公式与 Pw→Lq 关系交叉验证。要求 λ < cμ，否则按业务拒绝（不稳定）；c = 1 时公式退化为 M/M/1。经典例：λ = 6/小时、μ = 3/小时、c = 3 → P0 = 0.1111、Pw = 0.4444、Lq = 0.8889、L = 2.8889。

pH 与氢离子浓度双向换算：[H⁺] = 10^(−pH) mol/L，pH = −log₁₀[H⁺]。支持 mol/L、mmol/L、µmol/L、nmol/L（临床生理学习惯用 nmol/L：动脉血 pH 7.35–7.45 对应约 35–45 nmol/L，pH 7.40 ↔ 39.8 nmol/L），pH 范围 −3～16 覆盖超强酸到浓碱。

计算种群、资金或资源的倍增/减半时间并检验 70 法则的精度：输入每期复合增长率 g%（负值则为半衰期），输出法则估计 T̂ = 分子/g（可选 70 生态学标准 / 72 金融心算 / 69.3 连续复利精确分子）、离散复利精确值 T = ln2/ln(1+g%)、连续复利 T = ln2/(g/100)，以及估计值对精确值的百分比误差。附 ×2/×4/×8/×16（或 ÷2/÷4/÷8/÷16）时刻表与对应数值投影——注意周期利率下 n 倍时间并非严格线性。法则在 g ≈ 2–8% 最准，|g| 越大误差越大（20% 时约 −8%）。与正向计算 N(t) 的 exponential-growth-population 互补，本工具回答「多久翻倍/减半」。

根据一步生长实验计算噬菌体裂解量（burst size）：裂解量 = (裂解后游离 PFU/mL − 感染时接种 PFU/mL) ÷ 感染细胞数，其中感染细胞数 = 感染时细胞密度 × 感染百分比。感染百分比可由 MOI 按 Poisson 吸附 P = 1 − e^(−MOI) 估算：MOI 1 ≈ 63%、MOI 2 ≈ 86%、MOI 3 ≈ 95%、MOI 5 ≈ 99%。附典型范围判读：<20 偏低，20–100 常见（λ ≈ 50–100），100–300 较高（T4 类 ≈ 100–200+），>300 需复核（二次吸附可能虚高）。

根据双层平板噬菌斑实验计算效价：PFU/mL = 平均斑数 × 稀释倍数 ÷ 接种体积(mL)。支持多板输入并输出均值、标准差与 CV%，附可计数范围检查（约 30–300 斑/板：少于 30 建议降低稀释度，多于 300 斑易融合、计数偏低）。示例：10⁻⁶ 稀释、接种 100 µL、平均 108 斑 → 108×10⁶/0.1 = 1.08×10⁹ PFU/mL。

粘贴时间码章节列表，一次生成全部交付格式：Podcasting 2.0 章节 JSON（v1.2.0）与 RSS podcast:chapters 标签、可选把 ID3v2.4 CHAP+CTOC 章节帧直接烧入上传的 MP3（毫秒为普通大端 uint32、偏移 0xFFFFFFFF、每章嵌 TIT2 子帧、保留原有标签帧）、Vorbis CHAPTER001 注释对（OGG/Opus）、mp4chaps 文本、YouTube 说明栏时间戳块与 SRT 副车文件，并附各播放器真实支持情况（Apple 自 2025 起支持 RSS JSON；Pocket Casts/Overcast 仅读内嵌 ID3；Spotify 两者都不读）。

蛋白浓度单位一站式换算：µM = mg/mL × 1000 ÷ MW(kDa)；1% (w/v) = 10 mg/mL = 1 g/L；1 µM = 1 pmol/µL。输入浓度并选择单位（mg/mL、µg/mL、g/L、% w/v、µM、nM、mM、pmol/µL）与分子量（kDa），同时输出全部 8 种单位。台架参考：BSA（66.4 kDa）10 mg/mL ≈ 151 µM；50 kDa 蛋白 100 µM = 5 mg/mL。来源：SI 词头与 % w/v 约定、Thermo Pierce 换算表、NEBioCalculator。仅供教学与实验规划。

由氨基酸序列计算蛋白质分子量：MW = Σ平均残基质量 + H₂O（18.01524 Da），质量表与 ExPASy ProtParam 完全一致（A 71.0788 … W 186.2132）。输入大小写不敏感，自动忽略空白与 * - . 分隔符；歧义码（B/J/O/U/X/Z）不计入质量但会统计提示。结果为未修饰多肽链：不含信号肽切除、二硫键（每键 −2H）、翻译后修饰或标签。附 kDa、平均残基质量与链长。来源：ExPASy ProtParam（Gasteiger 2005）、Fasman 手册。仅供教学与实验规划。

按 1:1 结合平衡从单点数据估算 Kd：当蛋白过量时结合分数 f = [P]÷([P]+Kd)，故 Kd = [P]×(1−f)÷f；f = 0.5 时 Kd 恰等于蛋白浓度。两种输入：直接输入结合分数（0–1），或由荧光各向异性 f = (r−r游离)÷(r结合−r游离) 换算。附带 ΔG° = RT·ln(Kd)（默认 25°C）。判读：<1 nM 极强、1–100 nM 强（典型转录因子/核酸酶靶点）、100 nM–1 µM 中等、>1 µM 弱（查盐浓度、poly(dI-dC) 竞争）。假设：平衡、1:1、蛋白远过量；完整滴定曲线应整体拟合。来源：Cantor & Schimmel、Heyduk & Lee 1990、Lakowicz。仅供教学与实验规划。