¿Qué funciones matemáticas se pueden incluir en el término aₙ?

Admite operadores básicos (+, -, *, /, ^), paréntesis y funciones comunes como exp, ln, sqrt, sin y cos.

¿Cómo detecta la herramienta las series alternadas?

Identifica cambios periódicos de signo mediante expresiones como cos(pi*n) o (-1)^n y evalúa si |aₙ| decrece monótonamente hacia 0.

¿Qué ocurre si los criterios de la razón y la raíz dan 1?

Se marcan como inconclusos y la herramienta recurre a la comparación asintótica con series p y a la aproximación del criterio integral.

¿Cómo se calcula la suma estimada de la serie?

Suma los términos parciales hasta un rango numérico amplio y le añade una corrección de cola geométrica o de ley de potencias.

¿Es posible ajustar la precisión decimal del informe?

Sí, el parámetro de decimales permite configurar la salida entre 0 y 8 dígitos según el nivel de detalle requerido.

Elysia Tools

Navegación

Math & Numbers

Analizador de convergencia de series (razón/raíz/integral/comparación)

Analiza la convergencia de la serie Σ aₙ (aₙ como expresión de n): ejecuta en orden el criterio del término (¿aₙ → 0?), el criterio de la razón L = |aₙ₊₁/aₙ|, el criterio de la raíz ρ = |aₙ|^(1/n), la comparación con series p (p = −ln|a(N)|/ln N) y el criterio integral (Simpson numérico + comparación de crecimiento por década); las series alternantes se detectan automáticamente y se clasifican con el criterio de Leibniz, y para las convergentes se estima la suma (suma parcial + cola geométrica o de ley de potencias). Clásicos: Σ1/n² converge (p≈2, suma≈1.6449); Σ1/n diverge (armónica); Σ0.5ⁿ converge; Σcos(πn)/n converge condicionalmente (suma≈−ln2).

Ejecución

Ejecutar esta herramienta

Completa el formulario, ejecuta la herramienta y revisa el resultado en un solo lugar.

Ejecuciones de ejemplo preparadas

Haz clic en un ejemplo para completar el formulario automáticamente. Los archivos aún deben subirse.

2 ejemplos

Σ 1/n² converge — serie p con p = 2, suma ≈ 1.6449

Los criterios de la razón y de la raíz son inconclusos para las series p (L ≈ 1, ρ ≈ 1), pero la comparación da p = −ln|a(10⁹)|/ln(10⁹) = 2 > 1, así que la serie converge; la suma parcial hasta 10⁵ más la cola en ley de potencias estima la suma como π²/6 ≈ 1.6449.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = 1/n^2 nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-18 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999998 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison: p ≈ 2 — converges (p ≈ 2 > 1) (Σ 1/n^p converges for p > 1) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 0.4999 (+tail ≈ 0.0001) — decays fast — convergent estimated sum ≈ 1.6449 (partial sum + p-law tail) VERDICT: CONVERGES (p-series comparison: p ≈ 2 > 1)

Σ cos(πn)/n converge condicionalmente — criterio alternado de Leibniz

cos(πn) = (−1)ⁿ, así que es la serie armónica alternada: los signos se detectan como estrictamente alternados y |aₙ| = 1/n decrece hacia 0, por lo que aplica el criterio de Leibniz. La serie de valores absolutos se comporta como p = 1 (divergente), por lo que la convergencia es condicional, y la suma parcial tiende a −ln 2 ≈ −0.6931.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = cos(pi*n)/n Alternating series detected (signs strictly alternate); |aₙ| decreases toward 0 — Leibniz test applies nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-9 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999999 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison (on |aₙ|): p ≈ 1 — diverges (p ≈ 1 ≤ 1) (borderline harmonic-like; classified with the harmonic side (p = 1 diverges)) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 5.3924 — each decade adds a comparable amount — grows without bound — divergent estimated sum ≈ -0.6931 (Leibniz remainder bound |R| ≤ 1.0e-5) VERDICT: CONVERGES CONDITIONALLY (p-series comparison: p ≈ 1 ≤ 1; Leibniz test; not absolutely)

Entradas

Completa los campos necesarios y ejecuta la herramienta.

2 opciones

ContenidoPega o escribe los valores principales.1

Expresión del término aₙ (variable n)textObligatorioThe general term aₙ as an expression of n (n starts at 1). Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln. Alternating signs (e.g. cos(pi*n)) are detected.

AjustesAjusta formatos, rangos, números y modos.1

DecimalesnumberOpcional

Resultado

Listo para ejecutar

Al ejecutar la herramienta, aquí verás archivos, texto, datos estructurados o salida en streaming.

Ejemplos

Ejemplos que encajan con esta herramienta

Relacionado

Analizador de convergencia de series (razón/raíz/integral/comparación)

Ejecutar esta herramienta

Ejecuciones de ejemplo preparadas

Entradas

Resultado

Ejemplos que encajan con esta herramienta

Continuar con herramientas y temas relacionados

Ejecuciones de ejemplo preparadas

Entradas

Resultado

Conoce cuándo usar esta herramienta, qué admite y cómo la aplican los usuarios.

Datos clave

Resumen

Cuándo usarlo

Cómo funciona

Casos de uso

Ejemplos

1. Análisis de una serie p convergente

2. Evaluación de una serie alternada condicional

Preguntas frecuentes

Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python

Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java

Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Kotlin

Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Rust

Solver de EDO de primer orden (variables separables)

Calculadora de raíces por Newton-Raphson

Integrador por regla de Simpson (∫f(x)dx)

Integrador por regla del trapecio (∫f(x)dx)

Herramientas de codificacion y conversion de audio

Herramientas de conversion de formatos de imagen y exportacion animada

Herramientas de intercambio JSON y traduccion de formatos

Herramientas de conversion de espacios de color para web e impresion