Quais funções matemáticas são suportadas na expressão do termo aₙ?

Você pode usar operadores aritméticos padrão (+, -, *, /, ^), parênteses e funções como exp, sin, cos, sqrt e ln.

Como a ferramenta lida com séries alternadas?

Ela detecta automaticamente variações estritas de sinal (como termos com cos(pi*n) ou potências negativas) e aplica o critério de Leibniz.

Por que os critérios da razão e da raiz às vezes resultam em inconclusivo?

Quando o limite L ou ρ é igual a 1 (comum em séries polinomiais e séries p), esses testes não determinam a convergência, acionando o teste de séries p ou o teste integral.

Como é calculada a estimativa da soma?

A ferramenta calcula a soma parcial de termos e adiciona uma aproximação numérica da cauda residual baseada em comportamento geométrico ou lei de potências.

A análise funciona para séries que começam em índices diferentes de n = 1?

O analisador adota n iniciando em 1 para as avaliações assintóticas e somas parciais padrão da expressão.

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Analisador de convergência de séries (razão/raiz/integral/comparação)

Analisa a convergência da série Σ aₙ (aₙ como expressão de n): aplica em sequência o critério do termo (aₙ → 0?), o critério da razão L = |aₙ₊₁/aₙ|, o critério da raiz ρ = |aₙ|^(1/n), a comparação com séries p (p = −ln|a(N)|/ln N) e o critério integral (Simpson numérico + comparação de crescimento por década); séries alternadas são detectadas automaticamente e classificadas pelo critério de Leibniz, e para as convergentes a soma é estimada (soma parcial + cauda geométrica ou em lei de potências). Clássicos: Σ1/n² converge (p≈2, soma≈1.6449); Σ1/n diverge (harmônica); Σ0.5ⁿ converge; Σcos(πn)/n converge condicionalmente (soma≈−ln2).

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Σ 1/n² converge — série p com p = 2, soma ≈ 1.6449

Os critérios da razão e da raiz são inconclusivos para séries p (L ≈ 1, ρ ≈ 1), mas a comparação dá p = −ln|a(10⁹)|/ln(10⁹) = 2 > 1, logo a série converge; a soma parcial até 10⁵ mais a cauda em lei de potências estima a soma como π²/6 ≈ 1.6449.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = 1/n^2 nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-18 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999998 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison: p ≈ 2 — converges (p ≈ 2 > 1) (Σ 1/n^p converges for p > 1) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 0.4999 (+tail ≈ 0.0001) — decays fast — convergent estimated sum ≈ 1.6449 (partial sum + p-law tail) VERDICT: CONVERGES (p-series comparison: p ≈ 2 > 1)

Σ cos(πn)/n converge condicionalmente — critério de Leibniz

cos(πn) = (−1)ⁿ — é a série harmônica alternada: os sinais são detectados como estritamente alternados e |aₙ| = 1/n decresce para 0, logo o critério de Leibniz se aplica. A série dos módulos comporta-se como p = 1 (divergente), portanto a convergência é condicional, e a soma parcial tende a −ln 2 ≈ −0.6931.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = cos(pi*n)/n Alternating series detected (signs strictly alternate); |aₙ| decreases toward 0 — Leibniz test applies nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-9 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999999 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison (on |aₙ|): p ≈ 1 — diverges (p ≈ 1 ≤ 1) (borderline harmonic-like; classified with the harmonic side (p = 1 diverges)) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 5.3924 — each decade adds a comparable amount — grows without bound — divergent estimated sum ≈ -0.6931 (Leibniz remainder bound |R| ≤ 1.0e-5) VERDICT: CONVERGES CONDITIONALLY (p-series comparison: p ≈ 1 ≤ 1; Leibniz test; not absolutely)

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Expressão do termo aₙ (variável n)textObrigatórioThe general term aₙ as an expression of n (n starts at 1). Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln. Alternating signs (e.g. cos(pi*n)) are detected.

ConfiguraçõesAjuste formatos, intervalos, números e modos.1

Casas decimaisnumberOpcional

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1. Análise da série p quadrática

2. Classificação da série harmônica alternada

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