Какие математические функции поддерживаются в выражении для aₙ?

Поддерживаются арифметические операции (+, -, *, /, ^), скобки, а также функции exp, sin, cos, sqrt и ln от переменной n.

Как инструмент обрабатывает знакочередующиеся ряды?

Инструмент автоматически распознаёт чередование знаков (например, через множители вида cos(pi*n)), применяет признак Лейбница и проверяет ряд из модулей для разграничения абсолютной и условной сходимости.

Что означает результат «inconclusive» для признаков Д'Аламбера или Коши?

Это означает, что предел отношения или корня равен 1, поэтому данные признаки не дают ответа, и инструмент переходит к признакам сравнения и интегральному тесту.

Как рассчитывается приближённая сумма сходящегося ряда?

Сумма оценивается сложением частичной суммы конечного числа членов с поправкой на остаточный член (хвост ряда) по геометрической или степенной модели.

С какого значения индекса n начинается суммирование ряда?

Анализ и расчёт частичных сумм выполняются в предположении, что суммирование начинается с индекса n = 1.

Elysia Tools

Навигация

Math & Numbers

Анализатор сходимости рядов (признаки Д'Аламбера/Коши/интегральный/сравнения)

Анализирует сходимость ряда Σ aₙ (aₙ — выражение от n): последовательно применяются необходимый признак (aₙ → 0?), признак Д'Аламбера L = |aₙ₊₁/aₙ|, радикальный признак Коши ρ = |aₙ|^(1/n), сравнение с обобщённо-гармоническим рядом (p = −ln|a(N)|/ln N) и интегральный признак (численный Симпсон + сравнение роста по декадам); знакочередующиеся ряды распознаются автоматически и классифицируются признаком Лейбница, а для сходящихся оценивается сумма (частичная сумма + геометрическая или степенная хвостовая поправка). Классика: Σ1/n² сходится (p≈2, сумма≈1.6449); Σ1/n расходится (гармонический); Σ0.5ⁿ сходится; Σcos(πn)/n сходится условно (сумма≈−ln2).

Запуск

Запустить этот инструмент

Заполните форму, запустите инструмент и посмотрите результат на этой же странице.

Подготовленные примеры запуска

Нажмите пример, чтобы автоматически заполнить форму. Файлы по-прежнему нужно загрузить.

2 примеров

Σ 1/n² сходится — обобщённо-гармонический ряд с p = 2, сумма ≈ 1.6449

Признаки Д'Аламбера и Коши для таких рядов бессильны (L ≈ 1, ρ ≈ 1), но сравнение даёт p = −ln|a(10⁹)|/ln(10⁹) = 2 > 1 — ряд сходится; частичная сумма до 10⁵ со степенной поправкой оценивает сумму как π²/6 ≈ 1.6449.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = 1/n^2 nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-18 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999998 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison: p ≈ 2 — converges (p ≈ 2 > 1) (Σ 1/n^p converges for p > 1) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 0.4999 (+tail ≈ 0.0001) — decays fast — convergent estimated sum ≈ 1.6449 (partial sum + p-law tail) VERDICT: CONVERGES (p-series comparison: p ≈ 2 > 1)

Σ cos(πn)/n сходится условно — признак Лейбница

cos(πn) = (−1)ⁿ — это знакочередующийся гармонический ряд: знаки распознаются как строго чередующиеся, а |aₙ| = 1/n монотонно стремится к 0, поэтому применим признак Лейбница. Ряд из модулей ведёт себя как p = 1 (расходится), поэтому сходимость условная, а частичная сумма стремится к −ln 2 ≈ −0.6931.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = cos(pi*n)/n Alternating series detected (signs strictly alternate); |aₙ| decreases toward 0 — Leibniz test applies nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-9 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999999 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison (on |aₙ|): p ≈ 1 — diverges (p ≈ 1 ≤ 1) (borderline harmonic-like; classified with the harmonic side (p = 1 diverges)) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 5.3924 — each decade adds a comparable amount — grows without bound — divergent estimated sum ≈ -0.6931 (Leibniz remainder bound |R| ≤ 1.0e-5) VERDICT: CONVERGES CONDITIONALLY (p-series comparison: p ≈ 1 ≤ 1; Leibniz test; not absolutely)

Ввод

Заполните нужные поля и запустите инструмент.

2 параметров

СодержимоеВставьте или введите основные значения.1

Выражение члена aₙ (переменная n)textОбязательноThe general term aₙ as an expression of n (n starts at 1). Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln. Alternating signs (e.g. cos(pi*n)) are detected.

НастройкиНастройте форматы, диапазоны, числа и режимы.1

Знаков после запятойnumberНеобязательно

Результат

Готово к запуску

После запуска здесь появятся файлы, текст, структурированные данные или потоковый вывод.

Примеры

Примеры для этого инструмента

Связано

Анализатор сходимости рядов (признаки Д'Аламбера/Коши/интегральный/сравнения)

Запустить этот инструмент

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Примеры для этого инструмента

Продолжить с похожими инструментами и темами

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Узнайте, когда использовать этот инструмент, что он поддерживает и как его применяют пользователи.

Ключевые факты

Обзор

Когда использовать

Как это работает

Сценарии использования

Примеры

1. Исследование обобщённо-гармонического ряда

2. Проверка условной сходимости знакочередующегося ряда

FAQ

Примеры Обработки Изображений Web Python

Примеры Обработки Изображений Android Java

Примеры Обработки Изображений Android Kotlin

Примеры Обработки Изображений Web Rust

Решатель ОДУ первого порядка (разделение переменных)

Калькулятор метода Ньютона-Рафсона

Интегрирование по формуле Симпсона (∫f(x)dx)

Интегрирование методом трапеций (∫f(x)dx)

Инструменты кодирования и конвертации аудио

Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта

Инструменты JSON-обмена и перевода форматов

Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати