Welche mathematischen Funktionen können im Ausdruck aₙ verwendet werden?

Unterstützt werden Grundrechenarten (+, -, *, /, ^), Klammern sowie Standardfunktionen wie exp, ln, sqrt, sin und cos.

Was bedeutet ein Grenzwert von L = 1 beim Quotientenkriterium?

Liefert das Quotientenkriterium L = 1, ist es nicht entscheidbar (inconclusive); das Tool zieht dann Vergleichs- oder Integralkriterien heran.

Wie werden alternierende Reihen ausgewertet?

Terme mit Vorzeichenwechsel (z. B. cos(pi*n)) werden erkannt und anhand des Leibniz-Kriteriums auf Monotonie und Nullfolge geprüft.

Kann das Tool zwischen absoluter und bedingter Konvergenz unterscheiden?

Ja, bei alternierenden Reihen wird geprüft, ob die Betragsreihe konvergiert (absolut) oder divergiert (bedingt konvergent).

Wie wird die Summe einer konvergenten Reihe berechnet?

Die Summe wird über hohe Partialsummen in Kombination mit geometrischen oder potenzgesetzlichen Restgliedabschätzungen numerisch approximiert.

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Reihenkonvergenz-Tester (Quotienten-/Wurzel-/Integral-/Vergleichskriterium)

Untersucht die Konvergenz der Reihe Σ aₙ (aₙ als Ausdruck von n): nacheinander werden das Notwendigkeitskriterium (aₙ → 0?), das Quotientenkriterium L = |aₙ₊₁/aₙ|, das Wurzelkriterium ρ = |aₙ|^(1/n), der Vergleich mit p-Reihen (p = −ln|a(N)|/ln N) und das Integralkriterium (numerisches Simpson + Dekaden-Wachstumsvergleich) angewendet; alternierende Reihen werden automatisch erkannt und per Leibniz-Kriterium klassifiziert, und für konvergente Reihen wird die Summe geschätzt (Partialsumme + geometrischer oder potenzgesetzlicher Rest). Klassiker: Σ1/n² konvergiert (p≈2, Summe≈1.6449); Σ1/n divergiert (harmonisch); Σ0.5ⁿ konvergiert; Σcos(πn)/n konvergiert bedingt (Summe≈−ln2).

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2 Beispiele

Σ 1/n² konvergiert — p-Reihe mit p = 2, Summe ≈ 1.6449

Quotienten- und Wurzelkriterium sind bei p-Reihen inconclusiv (L ≈ 1, ρ ≈ 1), aber der Vergleich liefert p = −ln|a(10⁹)|/ln(10⁹) = 2 > 1, also konvergiert die Reihe; die Partialsumme bis 10⁵ plus der potenzgesetzliche Rest schätzt die Summe als π²/6 ≈ 1.6449.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = 1/n^2 nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-18 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999998 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison: p ≈ 2 — converges (p ≈ 2 > 1) (Σ 1/n^p converges for p > 1) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 0.4999 (+tail ≈ 0.0001) — decays fast — convergent estimated sum ≈ 1.6449 (partial sum + p-law tail) VERDICT: CONVERGES (p-series comparison: p ≈ 2 > 1)

Σ cos(πn)/n konvergiert bedingt — Leibniz-Kriterium

cos(πn) = (−1)ⁿ — das ist die alternierende harmonische Reihe: Die Vorzeichen werden als streng alternierend erkannt und |aₙ| = 1/n fällt monoton gegen 0, also greift das Leibniz-Kriterium. Die Betragsreihe verhält sich wie p = 1 (divergent), die Konvergenz ist daher bedingt, und die Partialsumme strebt gegen −ln 2 ≈ −0.6931.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = cos(pi*n)/n Alternating series detected (signs strictly alternate); |aₙ| decreases toward 0 — Leibniz test applies nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-9 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999999 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison (on |aₙ|): p ≈ 1 — diverges (p ≈ 1 ≤ 1) (borderline harmonic-like; classified with the harmonic side (p = 1 diverges)) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 5.3924 — each decade adds a comparable amount — grows without bound — divergent estimated sum ≈ -0.6931 (Leibniz remainder bound |R| ≤ 1.0e-5) VERDICT: CONVERGES CONDITIONALLY (p-series comparison: p ≈ 1 ≤ 1; Leibniz test; not absolutely)

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InhaltHaupteingaben einfügen oder eingeben.1

Term aₙ-Ausdruck (Variable n)textPflichtThe general term aₙ as an expression of n (n starts at 1). Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln. Alternating signs (e.g. cos(pi*n)) are detected.

EinstellungenFormate, Bereiche, Zahlen und Modi anpassen.1

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2. Prüfung einer alternierenden harmonischen Reihe

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