Quelles fonctions mathématiques sont supportées dans l'expression de aₙ ?

Vous pouvez utiliser les opérateurs arithmétiques standards (+, -, *, /, ^) ainsi que les fonctions usuelles comme exp, ln, sqrt, sin et cos.

Comment l'outil gère-t-il les séries alternées ?

Il détecte l'alternance de signe (comme via cos(pi*n)), vérifie la décroissance de |aₙ| vers 0 avec le critère de Leibniz et distingue convergence absolue et conditionnelle.

Pourquoi les tests du rapport et de la racine sont-ils parfois non concluants ?

Pour les séries de type Riemann (ex. 1/n²), L et ρ valent 1. L'outil bascule alors sur le test de comparaison p-série ou le critère intégral pour trancher.

Comment la somme de la série est-elle estimée ?

L'algorithme calcule une somme partielle sur un nombre fini de termes, puis y ajoute une estimation asymptotique de la queue (géométrique ou en loi de puissance).

Quel est l'intervalle de valeurs pour le paramètre des décimales ?

Le nombre de décimales peut être configuré entre 0 et 8 décimales après la virgule.

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Analyseur de convergence des séries (ratio/racine/intégrale/comparaison)

Analyse la convergence de la série Σ aₙ (aₙ comme expression de n) : applique dans l'ordre le critère du terme (aₙ → 0 ?), le critère du rapport L = |aₙ₊₁/aₙ|, le critère de la racine ρ = |aₙ|^(1/n), la comparaison aux séries de Riemann (p = −ln|a(N)|/ln N) et le critère intégral (Simpson numérique + comparaison de croissance par décade) ; les séries alternées sont détectées automatiquement et classées par le critère de Leibniz, et la somme des séries convergentes est estimée (somme partielle + queue géométrique ou en loi de puissance). Classiques : Σ1/n² converge (p≈2, somme≈1.6449) ; Σ1/n diverge (harmonique) ; Σ0.5ⁿ converge ; Σcos(πn)/n converge conditionnellement (somme≈−ln2).

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2 exemples

Σ 1/n² converge — série de Riemann avec p = 2, somme ≈ 1.6449

Les critères du rapport et de la racine sont inconclusifs pour les séries de Riemann (L ≈ 1, ρ ≈ 1), mais la comparaison donne p = −ln|a(10⁹)|/ln(10⁹) = 2 > 1 : la série converge ; la somme partielle jusqu'à 10⁵ plus la queue en loi de puissance estime la somme à π²/6 ≈ 1.6449.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = 1/n^2 nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-18 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999998 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison: p ≈ 2 — converges (p ≈ 2 > 1) (Σ 1/n^p converges for p > 1) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 0.4999 (+tail ≈ 0.0001) — decays fast — convergent estimated sum ≈ 1.6449 (partial sum + p-law tail) VERDICT: CONVERGES (p-series comparison: p ≈ 2 > 1)

Σ cos(πn)/n converge conditionnellement — critère de Leibniz

cos(πn) = (−1)ⁿ : c'est la série harmonique alternée ; les signes sont détectés comme strictement alternés et |aₙ| = 1/n décroît vers 0, donc le critère de Leibniz s'applique. La série des valeurs absolues se comporte comme p = 1 (divergente), la convergence est donc conditionnelle, et la somme partielle tend vers −ln 2 ≈ −0.6931.

Series convergence analysis — Σ aₙ with aₙ = cos(pi*n)/n Alternating series detected (signs strictly alternate); |aₙ| decreases toward 0 — Leibniz test applies nth-term test: |a(10^9)| ≈ 1.00e-9 → 0 — passes ratio test: L = |a(10^6+1)|/|a(10^6)| ≈ 0.999999 — inconclusive (L ≈ 1) root test: ρ = |a(10^9)|^(1/10^9) ≈ 1 — inconclusive (ρ ≈ 1) p-series comparison (on |aₙ|): p ≈ 1 — diverges (p ≈ 1 ≤ 1) (borderline harmonic-like; classified with the harmonic side (p = 1 diverges)) integral test: ∫₂^10^4 |a(x)|dx ≈ 5.3924 — each decade adds a comparable amount — grows without bound — divergent estimated sum ≈ -0.6931 (Leibniz remainder bound |R| ≤ 1.0e-5) VERDICT: CONVERGES CONDITIONALLY (p-series comparison: p ≈ 1 ≤ 1; Leibniz test; not absolutely)

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ContenuCollez ou saisissez les valeurs principales.1

Expression du terme aₙ (variable n)textRequisThe general term aₙ as an expression of n (n starts at 1). Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln. Alternating signs (e.g. cos(pi*n)) are detected.

RéglagesAjustez formats, plages, nombres et modes.1

DécimalesnumberOptionnel

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1. Analyse d'une série de Riemann

2. Étude d'une série alternée harmonique

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