Calculadora de derivación numérica (diferencias forward/backward/central)

Calculadora de derivación numérica (diferencias forward/backward/central) | Herramienta online gratis | Elysia Tools

Guía de uso de la herramienta

Conoce cuándo usar esta herramienta, qué admite y cómo la aplican los usuarios.

Datos clave

Categoría: Math & Numbers
Tipos de entrada: text, number
Tipo de salida: text
Cobertura de ejemplos: 4
API disponible: Sí

Resumen

Esta calculadora de derivación numérica aproxima el valor de la primera derivada f′(x₀) mediante esquemas de diferencias finitas progresivas, retrógradas y centrales, además de calcular la segunda derivada central. Permite comparar la precisión de esquemas de orden O(h) y O(h²), con la opción de incluir la derivada analítica exacta para evaluar el error absoluto instantáneamente.

Cuándo usarlo

Al estudiar o validar ejercicios de análisis numérico y esquemas de diferencias finitas.
Cuando se requiere estimar la pendiente de funciones matemáticas sin calcular su derivada analítica a mano.
Para analizar la influencia del tamaño de paso h en el error de truncamiento frente al error de redondeo.

Cómo funciona

1Ingresa la función f(x), el punto de evaluación x₀ y el tamaño del paso h (entre 0 y 1).
2Opcionalmente, especifica la expresión de la derivada exacta f′(x) y la cantidad de decimales deseada para el resultado.
3La herramienta evalúa f(x₀), f(x₀+h) y f(x₀−h) aplicando las fórmulas progresiva (f(x₀+h)−f(x₀))/h, retrógrada (f(x₀)−f(x₀−h))/h y central (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h).
4Genera un reporte detallado con las aproximaciones de primer y segundo orden junto con los errores absolutos correspondientes.

Casos de uso

Comprobación de tareas académicas en cursos universitarios de cálculo y métodos numéricos.
Verificación rápida de derivadas de funciones no lineales en puntos específicos para simulaciones científicas.
Demostración didáctica de la convergencia y orden de precisión de esquemas numéricos.

Ejemplos

1. Aproximación de derivada cuadrática

Estudiante de ingeniería

Contexto

El estudiante necesita verificar el comportamiento de los esquemas numéricos en una función cuadrática simple.

Problema

Calcular la derivada de f(x) = x² en x₀ = 1 con paso h = 0.1 y comprobar los errores de cada método.

Cómo usarlo

Introduce f(x) = x^2, x0 = 1, h = 0.1 y la derivada exacta 2x.

fx: "x^2", x0: 1, h: 0.1, exactDy: "2x", decimalPlaces: 6

Resultado

Obtiene 2.100000 para progresiva, 1.900000 para retrógrada y un resultado exacto de 2.000000 para la central con error 0.

2. Evaluación de función trigonométrica

Docente de física computacional

Contexto

Desea mostrar a sus alumnos la diferencia en orden de magnitud del error entre esquemas de orden 1 y orden 2.

Problema

Estimar la derivada de sin(x) en x₀ = 0.5 con un paso pequeño h = 0.01.

Cómo usarlo

Configura fx en sin(x), fija x0 en 0.5, h en 0.01 y la derivada exacta en cos(x).

Preguntas frecuentes

¿Por qué la diferencia central suele ser más precisa que la progresiva o retrógrada?

La diferencia central tiene un error de truncamiento de orden O(h²), mientras que las diferencias progresivas y retrógradas son de orden O(h), reduciendo el error mucho más rápido conforme h disminuye.

¿Qué funciones matemáticas estándar se pueden ingresar?

Admite funciones continuas habituales como sin, cos, exp, ln, sqrt y polinomios algebraicos utilizando la variable x.

¿Es obligatorio proporcionar la derivada exacta f′(x)?

No, es un campo opcional destinado exclusivamente a calcular y mostrar el error absoluto de cada aproximación.

¿Qué ocurre si se elige un paso h excesivamente pequeño?

Un valor de h extremadamente diminuto puede introducir errores de cancelación sustractiva y redondeo en la aritmética de punto flotante.

¿Cómo se calcula la segunda derivada en esta herramienta?

fx: "sin(x)", x0: 0.5, h: 0.01, exactDy: "cos(x)", decimalPlaces: 6

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Cuándo usarlo

Cómo funciona

Casos de uso

Ejemplos

1. Aproximación de derivada cuadrática

2. Evaluación de función trigonométrica

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