Какие формулы конечных разностей используются для первой производной?

Используются прямая разность (f(x₀+h)−f(x₀))/h, обратная разность (f(x₀)−f(x₀−h))/h и центральная разность (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h).

Почему центральная разность обычно точнее прямой и обратной?

Центральная разность имеет порядок погрешности усечения O(h²), тогда как односторонние разности — порядок O(h).

Как рассчитывается вторая производная f″(x₀)?

Используется центральная разностная схема второго порядка: (f(x₀+h) - 2f(x₀) + f(x₀-h)) / h².

Обязательно ли заполнять поле точной производной?

Нет, поле f′(x) необязательно; оно требуется только для автоматического вычисления абсолютной погрешности каждого метода.

Какие функции поддерживаются в выражении f(x)?

Поддерживаются стандартные математические функции: степенные, тригонометрические (sin, cos), экспонента (exp), натуральный логарифм (ln), квадратный корень (sqrt) и базовые арифметические операции.

Elysia Tools

Навигация

Math & Numbers

Калькулятор численного дифференцирования (прямые/обратные/центральные разности)

Приближает f′(x₀) тремя конечными разностями: прямой (f(x₀+h)−f(x₀))/h, обратной (f(x₀)−f(x₀−h))/h и центральной (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h), плюс центральная вторая производная. Необязательная точная производная даёт абсолютную погрешность каждого метода и показывает контраст O(h) и O(h²). Пример: f=x², x₀=1, h=0,1 → прямая 2,1; обратная 1,9; центральная ровно 2,0.

Запуск

Запустить этот инструмент

Заполните форму, запустите инструмент и посмотрите результат на этой же странице.

Подготовленные примеры запуска

Нажмите пример, чтобы автоматически заполнить форму. Файлы по-прежнему нужно загрузить.

2 примеров

f = x² в x₀ = 1, h = 0,1 → прямая 2,1; обратная 1,9; центральная 2,0

Значения x² в 1,1; 1,0 и 0,9 равны 1,21; 1 и 0,81. Прямая: (1,21−1)/0,1 = 2,1; обратная: (1−0,81)/0,1 = 1,9; центральная: (1,21−0,81)/0,2 = 2,0 — центральные разности точны для квадратичных функций. Вторая производная тоже равна ровно 2.

Finite-difference derivatives of f(x) = x^2 at x0 = 1 (h = 0.1) Forward : (f(x0+h) - f(x0))/h = (1.210000 - 1.000000)/0.1 = 2.100000 |error| = 0.100000 Backward: (f(x0) - f(x0-h))/h = (1.000000 - 0.810000)/0.1 = 1.900000 |error| = 0.100000 Central : (f(x0+h) - f(x0-h))/(2h) = (1.210000 - 0.810000)/0.2 = 2.000000 |error| = 0.000000 Second derivative (central): (f(x0+h) - 2f(x0) + f(x0-h))/h^2 = 2.000000

f = sin(x) в x₀ = 0,5, h = 0,01 → центральная совпадает с cos(0,5) с точностью ~1,5×10⁻⁵

Точная производная sin в 0,5 равна cos(0,5) = 0,877583. Односторонние разности ошибаются примерно на 4×10⁻³, а центральная — лишь на ~1,5×10⁻⁵: разрыв между O(h) и O(h²) в одной таблице.

Ввод

Заполните нужные поля и запустите инструмент.

5 параметров

СодержимоеВставьте или введите основные значения.2

f(x)textОбязательноFunction of x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …).Точная производная f′(x) (необязательно)textНеобязательноExact derivative in x; the tool reports the absolute error of each method. Leave empty to skip.

НастройкиНастройте форматы, диапазоны, числа и режимы.3

Точка x₀numberОбязательноШаг hnumberОбязательноDifference step, 0 < h ≤ 1. Central differences: truncation O(h²); too small an h amplifies round-off.Знаков после запятойnumberНеобязательно

Результат

Готово к запуску

После запуска здесь появятся файлы, текст, структурированные данные или потоковый вывод.

Примеры

Примеры для этого инструмента

Связано

Калькулятор численного дифференцирования (прямые/обратные/центральные разности)

Запустить этот инструмент

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Примеры для этого инструмента

Продолжить с похожими инструментами и темами

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Узнайте, когда использовать этот инструмент, что он поддерживает и как его применяют пользователи.

Ключевые факты

Обзор

Когда использовать

Как это работает

Сценарии использования

Примеры

1. Дифференцирование квадратичной функции

2. Численный анализ тригонометрической функции

FAQ

Примеры Обработки Изображений Android Java

Примеры Обработки Изображений Android Kotlin

Примеры Обработки Изображений Web Python

Примеры Обработки Изображений Web Rust

Калькулятор интеграла свёртки (численный)

Численный решатель методом Эйлера (ОДУ первого порядка)

Калькулятор межквартильного размаха

Калькулятор квартилей