Newton-Raphson-Nullstellenrechner

Newton-Raphson-Nullstellenrechner | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Math & Numbers
Eingabetypen: text, number
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Der Newton-Raphson-Nullstellenrechner löst nichtlineare Gleichungen der Form f(x) = 0 mithilfe des klassischen Tangentenverfahrens. Neben dem berechneten Näherungswert liefert das Tool eine vollständige Iterationstabelle mit Einzelschritten, Funktionswerten f(x_k) und Details zum Abbruchkriterium.

Wann verwenden

Wenn eine nichtlineare oder transzendente Gleichung analytisch nicht direkt nach x aufgelöst werden kann.
Wenn für universitäre Übungen oder numerische Analysen der genaue Schritt-für-Schritt-Verlauf der Iteration benötigt wird.
Wenn Nullstellen mit hoher Präzision und quadratischer Konvergenz schnell approximiert werden sollen.

So funktioniert es

1Geben Sie den Funktionsausdruck f(x) ein und tragen Sie optional die analytische Ableitung f'(x) ein (bleibt das Feld leer, berechnet das Tool automatisch eine zentrale Differenz).
2Legen Sie den Startwert x₀, die gewünschte Toleranz für den Abbruch und die maximale Anzahl an Iterationsschritten fest.
3Das Tool berechnet iterativ x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) bis das Abbruchkriter (|f(x)| < Toleranz oder relative Schrittweite) erfüllt ist oder das Limit erreicht wird.
4Prüfen Sie die ausgegebene Tabelle mit allen Zwischenschritten, der finalen Wurzel und dem Restfunktionswert |f(x)|.

Anwendungsfälle

Approximation von Quadratwurzeln und Polynomnullstellen im Rahmen von Ingenieurberechnungen.
Bestimmung von Fixpunkten und Schnittpunkten transzendenter Gleichungen wie cos(x) = x.
Verifikation von Konvergenzverhalten und Fehlerabschätzungen in der numerischen Mathematik.

Beispiele

1. Quadratwurzel von 2 berechnen

Mathematikstudent

Hintergrund

Für ein Übungsblatt in Numerik soll die Quadratwurzel von 2 über das Newton-Verfahren an der Funktion f(x) = x² - 2 bestimmt werden.

Aufgabe

Schrittweise Dokumentation der Konvergenz ausgehend vom Startwert x₀ = 1 mit hoher Genauigkeit.

Verwendung

Geben Sie `x^2 - 2` als f(x) ein, setzen Sie den Startwert auf `1`, die Toleranz auf `1e-10` und die Dezimalstellen auf `10`.

fxExpr: "x^2 - 2", dfxExpr: "", x0: 1, tolerance: 1e-10, maxIter: 50, decimalPlaces: 10

Ergebnis

Das Verfahren konvergiert in 4 Iterationen gegen den Wert 1.4142135624 mit einer lückenlosen Schritttabelle.

2. Dottie-Zahl (Fixpunkt des Kosinus)

Dozent für Angewandte Mathematik

Hintergrund

Zur Demonstration quadratischer Konvergenz soll die transzendente Gleichung cos(x) - x = 0 mit analytischer Ableitung gelöst werden.

Aufgabe

Schnelle Berechnung des Fixpunkts mit Nachweis der Ableitung f'(x) = -sin(x) - 1.

Verwendung

Tragen Sie `cos(x) - x` bei f(x) und `-sin(x) - 1` bei f'(x) ein. Starten Sie bei `x₀ = 1`.

FAQ

Was passiert, wenn das Feld für f'(x) leer gelassen wird?

Das Tool berechnet die Steigung automatisch über ein numerisches zentrales Differenzenverfahren mit einer Schrittweite von h ≈ 1e-7.

Welche mathematischen Funktionen werden im Ausdruck unterstützt?

Unterstützt werden Grundrechenarten (+, -, *, /, ^), Klammern sowie Standardfunktionen wie exp, sin, cos, ln und sqrt.

Was geschieht, wenn die Ableitung während der Iteration null wird?

Eine Division durch null wird abgefangen und die Iteration bricht mit einer entsprechenden Fehlermeldung zur Nullableitung ab.

Welche Kriterien führen zum erfolgreichen Abbruch der Iteration?

Die Rechnung stoppt, sobald |f(x)| kleiner als die vorgegebene Toleranz ist oder die Schrittweite |Δx| unter die relative Toleranz fällt.

Wie viele Nachkommastellen können ausgegeben werden?

Über den Parameter Dezimalstellen kann die Anzeigeausgabe flexibel zwischen 0 und 12 Nachkommastellen eingestellt werden.

fxExpr: "cos(x) - x", dfxExpr: "-sin(x) - 1", x0: 1, tolerance: 1e-10, maxIter: 50, decimalPlaces: 10

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