Was passiert, wenn das Feld für f'(x) leer gelassen wird?

Das Tool berechnet die Steigung automatisch über ein numerisches zentrales Differenzenverfahren mit einer Schrittweite von h ≈ 1e-7.

Welche mathematischen Funktionen werden im Ausdruck unterstützt?

Unterstützt werden Grundrechenarten (+, -, *, /, ^), Klammern sowie Standardfunktionen wie exp, sin, cos, ln und sqrt.

Was geschieht, wenn die Ableitung während der Iteration null wird?

Eine Division durch null wird abgefangen und die Iteration bricht mit einer entsprechenden Fehlermeldung zur Nullableitung ab.

Welche Kriterien führen zum erfolgreichen Abbruch der Iteration?

Die Rechnung stoppt, sobald |f(x)| kleiner als die vorgegebene Toleranz ist oder die Schrittweite |Δx| unter die relative Toleranz fällt.

Wie viele Nachkommastellen können ausgegeben werden?

Über den Parameter Dezimalstellen kann die Anzeigeausgabe flexibel zwischen 0 und 12 Nachkommastellen eingestellt werden.

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Newton-Raphson-Nullstellenrechner

Löst f(x) = 0 mit der Newton-Raphson-Iteration x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): Die Ableitung kann analytisch angegeben werden (bleibt das Feld leer, wird eine numerische zentrale Differenz verwendet); ausgegeben werden die Iterationstabelle (x_k und f(x_k)), das Abbruchkriterium (|f| < Toleranz oder |Δx| < Toleranz·max(1,|x|)), die Iterationszahl und das endgültige |f(Wurzel)|. Klassiker: x²−2 konvergiert von x₀=1 in 4 Schritten gegen √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x konvergiert gegen die Dottie-Zahl 0.7390851332. Nullableitung, divergierende Schritte oder das Überschreiten des Iterationslimits werden explizit gemeldet.

Ausführung

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Vorbereitete Beispielausführungen

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2 Beispiele

x² − 2 = 0 von x₀ = 1 → √2 ≈ 1.4142135624 in 4 Iterationen

Das Newton-Verfahren verdoppelt bei x² − 2 die Anzahl der korrekten Stellen pro Schritt: 1 → 1.5 → 1.4166667 → 1.4142157 → 1.4142135624, wobei |f| unter 1e-10 fällt. Ohne Angabe der Ableitung reproduziert die numerische zentrale Differenz die analytische Tangente 2x mit Maschinengenauigkeit.

Newton–Raphson root finding f(x) = x^2 - 2 f'(x): numeric central difference (h ≈ 1e-7) Start: x₀ = 1, tolerance = 1e-10, max iterations = 50 Iterations: k x_k f(x_k) 0 1 -1 1 1.5 0.25 2 1.4166666667 0.0069444444 3 1.4142156863 0.0000060073 4 1.4142135624 0 Converged after 4 iterations Root: x ≈ 1.4142135624 |f(root)| ≈ 4.5e-12

cos(x) − x = 0 → die Dottie-Zahl 0.7390851332

Der Fixpunkt von cos(x) wird mit der analytischen Ableitung −sin(x) − 1 gefunden: Von x₀ = 1 konvergiert die Iteration quadratisch gegen 0.7390851332151607 in 4 Schritten — die Dottie-Zahl.

Newton–Raphson root finding f(x) = cos(x) - x f'(x): analytic (-sin(x) - 1) Start: x₀ = 1, tolerance = 1e-10, max iterations = 50 Iterations: k x_k f(x_k) 0 1 -0.4596976941 1 0.7503638678 -0.0189230738 2 0.7391128909 -0.0000464559 3 0.7390851334 -3e-10 4 0.7390851332 0 Converged after 4 iterations Root: x ≈ 0.7390851332 |f(root)| ≈ 0.0e+0

Eingaben

Fülle die erforderlichen Felder aus und starte das Tool.

6 Optionen

InhaltHaupteingaben einfügen oder eingeben.2

f(x)-AusdrucktextPflichtThe function whose root is sought, in the variable x. Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln.f'(x)-Ausdruck (optional)textOptionales FeldOptional analytic derivative; when blank a central difference (h ≈ 1e-7) is used.

EinstellungenFormate, Bereiche, Zahlen und Modi anpassen.4

Startwert x₀numberOptionales FeldStarting point of the iteration.ToleranznumberOptionales FeldConvergence threshold on |f(x)| and on the step size.Max. IterationennumberOptionales FeldHard cap on the number of iterations (2–200).DezimalstellennumberOptionales Feld

Ergebnis

Bereit zum Start

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2. Dottie-Zahl (Fixpunkt des Kosinus)

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