Калькулятор метода Ньютона-Рафсона | Бесплатный онлайн-инструмент | Elysia Tools
Elysia Tools
Навигация
Math & Numbers
Калькулятор метода Ньютона-Рафсона
Решает f(x) = 0 итерацией Ньютона-Рафсона x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): производную можно задать аналитически (если оставить пустым, используется центральная разность), выводятся таблица итераций (x_k и f(x_k)), критерий останова (|f| < допуск или |Δx| < допуск·max(1,|x|)), число итераций и итоговое |f(корень)|. Классика: x²−2 из x₀=1 сходится за 4 шага к √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x сходится к числу Дотти 0.7390851332. Нулевая производная, расходящиеся шаги или превышение лимита итераций сообщаются явно.
Запуск
Запустить этот инструмент
Заполните форму, запустите инструмент и посмотрите результат на этой же странице.
Примеры
Примеры для этого инструмента
Связано
Продолжить с похожими инструментами и темами
Результат
Готово к запуску
После запуска здесь появятся файлы, текст, структурированные данные или потоковый вывод.
Руководство по использованию инструмента
Узнайте, когда использовать этот инструмент, что он поддерживает и как его применяют пользователи.
Ключевые факты
Категория
Math & Numbers
Типы ввода
text, number
Тип вывода
text
Покрытие примерами
4
API доступен
Да
Обзор
Калькулятор метода Ньютона-Рафсона находит вещественные корни нелинейных уравнений f(x) = 0 методом касательных с квадратичной сходимостью. Инструмент поддерживает вычисление как с точной аналитической производной, так и с численной центральной разностью, формируя подробную таблицу промежуточных итераций с оценкой погрешности.
Когда использовать
Для быстрого численного нахождения корней трансцендентных и алгебраических уравнений вида f(x) = 0.
При выполнении лабораторных работ по численным методам и математическому анализу с проверкой каждого шага итерации.
Когда необходимо вычислить значение корня с заданной точностью без ручного взятия сложных производных.
Как это работает
1Введите математическое выражение f(x) и при необходимости задайте аналитическую производную f'(x) (при пустом поле используется центральная разность с шагом h ≈ 1e-7).
2Укажите начальное приближение x₀, требуемый допуск сходимости (tolerance) и максимальное число итераций.
3Алгоритм выполняет итерации по формуле x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) до выполнения критерия останова (|f(x)| < допуск или |Δx| < допуск·max(1, |x|)).
4Инструмент выводит итоговый корень, значение невязки |f(root)|, статус сходимости и полную таблицу шагов с заданным числом знаков после запятой.
Сценарии использования
Поиск корней полиномов и алгебраических уравнений произвольных степеней.
Решение трансцендентных уравнений, содержащих тригонометрические, показательные и логарифмические функции.
Проверка сходимости и визуализация поведения метода касательных на учебных задачах численного анализа.
Примеры
1. Вычисление квадратного корня из двух
Студент технического вуза
Контекст
Необходимо решить классическую задачу нахождения √2 через уравнение x² − 2 = 0 в рамках курса вычислительной математики.
Проблема
Требуется получить таблицу шагов и подтвердить квадратичную сходимость метода.
Как использовать
Ввести выражение x^2 - 2, оставить поле производной пустым, задать x₀ = 1, допуск 1e-10 и запустить расчет.
Нет, поле производной необязательно: если его оставить пустым, алгоритм автоматически рассчитает производную методом центральной разности.
Какие математические функции поддерживаются в f(x)?
Поддерживаются стандартные операторы +, -, *, /, ^, скобки, а также функции exp, sin, cos, ln, sqrt.
Что произойдет, если производная в точке станет равной нулю?
Алгоритм остановит вычисления и выведет явное сообщение об ошибке деления на ноль из-за нулевой производной.
Какой критерий останова используется в калькуляторе?
Итерации прекращаются, когда |f(x)| становится меньше допуска либо когда относительный шаг |Δx| падает ниже допуска, умноженного на max(1, |x|).
Почему метод может разойтись или превысить лимит итераций?
Метод Ньютона чувствителен к выбору начального приближения x₀; если стартовая точка выбрана далеко от корня или рядом с локальным экстремумом, шаги могут разойтись.