Welche Funktionstypen werden für g(x) unterstützt?

Unterstützt werden Konstanten, Potenzen x^n, lineare Terme (kx+m)^n, Exponentialfunktionen e^(kx), trigonometrische Funktionen (sin, cos), der natürliche Logarithmus ln(kx+m) und Wurzeln sqrt(kx+m).

Wie werden quadratische Ausdrücke in h(y) verarbeitet?

Quadratische Polynome mit reellen Nullstellen, wie etwa y(1-y), werden automatisch per Partialbruchzerlegung integriert.

Was geschieht, wenn die Gleichung nicht nach y aufgelöst werden kann?

Lässt sich H(y) nicht durch elementare Operationen invertieren, gibt der Löser die exakte implizite Beziehung H(y) = G(x) + C aus.

Wie wird eine allgemeine Lösung ohne Anfangswert berechnet?

Lassen Sie das Feld für y₀ leer; der Löser behält die Integrationskonstante C als freien Parameter in der Lösung bei.

Werden Gleichgewichtslösungen (singuläre Lösungen) berücksichtigt?

Ja, Nullstellen von h(y) werden als konstante Gleichgewichtslösungen erkannt und im Lösungsweg ausgewiesen.

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Löser für DGL 1. Ordnung (Variablentrennung)

Löst dy/dx = g(x)·h(y) durch Variablentrennung: trennen, gliedweise integrieren zu H(y) = G(x) + C und, wenn möglich, nach y auflösen. Unterstützt eintermige h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) und per Partialbruchzerlegung behandelbare quadratische Polynome (etwa die logistische Gleichung y(1−y)); mit Anfangsbedingung y(x₀)=y₀ wird C berechnet und Gleichgewichtslösungen erkannt. Beispiel: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).

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2 Beispiele

dy/dx = 2x·y mit y(0) = 1 → y = e^(x²)

Trennung ergibt dy/y = 2x dx; Integration liefert ln|y| = x² + C, also y = e^(x²+C). Die Anfangsbedingung y(0) = 1 erzwingt C = 0 und die spezielle Lösung y = e^(x²).

dy/dx = g(x)·h(y) with g(x) = 2 x, h(y) = y Step 1 — Separate variables: (1/y) dy = 2 x dx Step 2 — Integrate both sides: ln|y| = x^2 + C Step 3 — Solve for y: y = e^(x^2 + C) Initial condition y(0) = 1: C = H(y0) - G(x0) = 0 Particular solution: y = e^(x^2)

Logistische Gleichung dy/dx = x·y(1−y), y(0) = 2 → implizite Lösung

h(y) = y(1−y) zerfällt in y und (1−y), daher zerlegt sich 1/h per Partialbruchzerlegung in 1/y − 1/(y−1). Integration liefert ln|y| − ln|y−1| = x²/2 + C; H mischt zwei Logarithmen, y bleibt implizit. Mit y(0) = 2 gilt C = ln 2 ≈ 0,693147.

dy/dx = g(x)·h(y) with g(x) = x, h(y) = y - y^2 Step 1 — Separate variables (partial fractions): (1/y - 1/(y - 1)) dy = x dx Step 2 — Integrate both sides: ln|y| - ln|y - 1| = 0.5 x^2 + C Step 3 — H(y) mixes irreducible terms: y cannot be isolated in elementary form; the implicit relation above is the solution. Initial condition y(0) = 2: C = H(y0) - G(x0) = 0.693147 Implicit particular solution: ln|y| - ln|y - 1| = 0.5 x^2 + 0.693147

Eingaben

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4 Optionen

InhaltHaupteingaben einfügen oder eingeben.2

g(x) — Faktor der x-SeitetextPflichtx-dependent factor of dy/dx = g(x)·h(y). Terms: constants, x^n, (kx+m)^n, e^(kx), sin(kx+m), cos(kx+m), ln(kx+m), sqrt(kx+m).h(y) — Faktor der y-SeitetextPflichty-dependent factor. Single terms (y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky)) or a degree ≤ 2 polynomial with real roots, or c/D(y).

EinstellungenFormate, Bereiche, Zahlen und Modi anpassen.2

x₀ (Anfangs-x)numberOptionales FeldOnly used together with y₀ to pin down the constant C.y₀ = y(x₀)numberOptionales FeldInitial value. Leave empty for the general solution; provide with x₀ for the particular solution.

Ergebnis

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