Elysia Tools
Навигация
Math & Numbers
Решает dy/dx = g(x)·h(y) методом разделения переменных: разделяем, интегрируем почленно, получаем H(y) = G(x) + C и, если возможно, выражаем y = f(x). Поддерживаются одночленные h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) и квадратичные многочлены, раскладываемые на простые дроби (например, логистическое y(1−y)); при начальном условии y(x₀)=y₀ вычисляется C и проверяется решение равновесия. Пример: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).
Запуск
Заполните форму, запустите инструмент и посмотрите результат на этой же странице.
Примеры
Связано
Готово к запуску
Руководство по использованию инструмента
Решатель ОДУ первого порядка предназначен для аналитического решения дифференциальных уравнений вида dy/dx = g(x)·h(y) методом разделения переменных. Инструмент выполняет символьное интегрирование обеих частей уравнения, строит явные или неявные решения и рассчитывает константу интегрирования C для задач Коши с заданными начальными условиями.
Контекст
Студент решает задачу Коши dy/dx = 2x·y с начальным условием y(0) = 1 в рамках контрольной работы.
Проблема
Необходимо пошагово разделить переменные, проинтегрировать обе части и найти значение константы C.
Как использовать
Задайте g(x) = 2x, h(y) = y, укажите x₀ = 0 и y₀ = 1.
gx: 2x, hy: y, x0: 0, y0: 1Результат
Получено разделение (1/y) dy = 2x dx, интегрирование ln|y| = x² + C и частное решение y = e^(x²).
Контекст
Преподавателю необходимо подготовить пошаговый пример решения нелинейного уравнения dy/dx = x·y(1−y) при y(0) = 2.
Проблема
Требуется выполнить разложение дроби 1/(y(1−y)) на простые слагаемые и вывести частное неявное решение.
Как использовать
Введите g(x) = x, h(y) = y(1-y), x₀ = 0 и y₀ = 2.
Поддерживаются одночлены (y, y^n, e^(ky), ky+m), а также многочлены степени ≤ 2 с вещественными корнями, разложимые на простые дроби.
Если обратная функция не выражается в элементарном виде, решатель возвращает точное неявное решение H(y) = G(x) + C.
Нет, без начальных условий инструмент находит общее решение уравнения с произвольной постоянной C.
Корни уравнения h(y) = 0 проверяются как постоянные равновесные решения исходного дифференциального уравнения.
Допускаются многочлены x^n, линейные формы (kx+m)^n, экспоненты e^(kx), функции sin, cos, ln и квадратные корни.
gx: x, hy: y(1-y), x0: 0, y0: 2Результат
Сформировано разложение (1/y − 1/(y−1)) dy = x dx и неявное частное решение ln|y| − ln|y−1| = 0.5x² + 0.693147.