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计算 Carmichael 函数 λ(n)——乘法群 (Z/nZ)* 的指数，即使所有与 n 互素的 a 满足 a^k ≡ 1 (mod n) 的最小 k。由质因数分解按 λ(2)=1、λ(4)=2、λ(2^k)=2^(k−2)（k ≥ 3）、奇素数幂 λ(p^k)=φ(p^k) 再取 lcm 得到，同时给出 φ(n) 对比、是否存在原根，并用 Korselt 判据识别 Carmichael 数。经典例：λ(561) = 80（561 是最小的 Carmichael 数），而 λ(8) = 2 < φ(8) = 4。
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案例
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工具使用指南
Carmichael 函数 λ(n) 计算器可快速求出模 n 乘法群 (Z/nZ)* 的群指数，即满足所有与 n 互素的整数 a 均有 a^k ≡ 1 (mod n) 的最小正整数 k。工具通过质因数分解计算各项素数幂的 λ 值并求取最小公倍数（lcm），同时提供与欧拉函数 φ(n) 的比对、原根存在性判断、Korselt 判据下的 Carmichael 数识别以及样例单元同余验证。
背景
正在学习费马素性测试及其伪素数缺陷，需要分析最小 Carmichael 数 561 的群指数和同余性质。
问题
求出 561 的 λ(n)、与 φ(561) 的关系，并验证其是否满足 Carmichael 数的整除条件。
如何使用
在数值 n 输入框中填入 561，输出详细度选择“并用样例单元验证 a^λ(n) ≡ 1 (mod n)”，点击计算。
n: 561, detail: verify结果
输出因数分解 561 = 3 × 11 × 17，计算各分量 λ(3)=2、λ(11)=10、λ(17)=16 并得到 λ(561)=80；显示 φ(561)=320，说明无原根；确认 80 整除 560 (n-1)，判定 561 为 Carmichael 数。
背景
在近世代数课程中学习有限阿贝尔群结构，需要验证当 k ≥ 3 时 2^k 的群指数坍缩性质。
问题
计算模 8 乘法群的指数，对比其与 φ(8) 的差异。
如何使用
在数值 n 输入框中填入 8，输出详细度选择“λ(n) 与因数分解”，点击计算。
n: 8, detail: value结果
分解得 8 = 2^3，由公式 λ(2^3) = 2^(3-2) 得到 λ(8) = 2；对比 φ(8) = 4，确认 λ(8) < φ(8)，得出 8 无原根且所有与 8 互素的奇数平方均模 8 同余于 1。
φ(n) 是模 n 乘法群的阶（元素个数），而 λ(n) 是该群的指数（所有元素阶的最小公倍数），λ(n) 总是整除 φ(n)。
当且仅当模 n 存在原根时（即 n 为 1, 2, 4, p^k, 2p^k，其中 p 为奇素数），乘法群为循环群，此时 λ(n) 等于 φ(n)。
Carmichael 数是满足对所有与 n 互素的 a 均有 a^(n-1) ≡ 1 (mod n) 的合数。工具通过 Korselt 判据（即 λ(n) 能否整除 n-1）进行精确判定。
支持 1 ≤ n ≤ 10¹² 的正整数计算，依托试除法因数分解在范围内秒级得出结果。
该选项会在输出理论计算结果的同时，选取与 n 互素的实际整数 a 计算 a^λ(n) mod n，直观展示同余值为 1 的验证过程。